1、江苏省徐州市2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本试卷共6页，本卷满分为150分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3. 回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.4.作答非选择时题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.如需作图，须用2B铅笔绘图、写清楚，线条、符号等
2、.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若函数，则在处的导数为（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】B【解析】【分析】求导得，将代入即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查导数的简单计算，属于基础题.2. 设复数满足（为虚数单位），则（ ）A B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先根据复数除法运算计算复数，再根据复数模的计算公式求解即可.【详解】解：由题知，故.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算与模的计算，是基础题.3. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【
3、分析】根据基本初等函数的导数和求导法则判断【详解】，,，只有B正确故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式，考查导数的运算法则，属于基础题4. 若函数在时取得极值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.【详解】因为，所以，又函数在时取得极值，所以，解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.5. 已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由原函数的图象可知在上先单调递增，后单调递减，再单调递增，在上单调递减；可确定出
4、导函数在每个区间是大于零，还是小于零，分析各个选项中的图象，即可得出结论.【详解】由的图象可知：在先单调递增，后单调递减，再单调递增，而在上单调递减，故在区间上先大于0，后小于0，再大于0，在上恒小于0.分析选项中各个图象，只有选项符合，故选A.【点睛】本题主要考查原函数图象与导函数图象的关系，属于基础题.原函数在区间上递增，则导函数图象在轴上方，原函数在区间上递减，则导函数图象在下方.6. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】求出，令，求出，然后再令即可求解.【详解】由，则，令，则，解得，令，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数得运算法则以及基本初等函数得导数，
5、属于基础题.7. 若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数在区间上是单调减函数，可得，进而得出结论【详解】函数在区间上是单调减函数，且，令，解得：，解得实数的取值范围是，故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查逻辑推理能力、运算求解能力8. 设是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，可得在定义域范围为偶函数，并得到在 上单调递减，在上单调递增，且，结合函数的大致图像分析即可得到的解集【详解】构造函数，则由于是定义在上的奇函数
6、,则，故在定义域范围为偶函数，图像关于轴对称；，则，；又时，有恒成立，故在上恒成立，即在 上单调递减；根据偶函数的对称性可得在上单调递增，所以的大致图像如下图：所以，则或；即的解集为故答案选B.【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.9. 已知不等式对任意的恒成立，则满足条件的整数的可能值为（ ）A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析
7、】利用导数求得函数的最小值，可得出实数的取值范围，由此可得出合适的选项.【详解】令，则.，当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.因此，满足条件的整数的可能值为、.故选：AB.【点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求解参数的可能取值，考查计算能力，属于中等题.10. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）A. 函数的极大值为，极小值为B. 当时，函数的最大值为，最小值为C. 函数的单调减区间为D. 曲线在点处的切线方程为【答案】ACD【解析】【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.【详解】因为所以，由，得
8、或，由，得，所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，所以当时，取得极大值，在时，取得极小值，故选项正确，当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.11. 若函数在上单调递减，则称为函数，下列函数中为函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】将各选项中的函数代入，利用导数判断函数在区间上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A选项，则，当时，此时，函数在区间上单调递减，A选项合
9、乎题意；对于B选项，则，当时，.当时，；当时，.此时，函数在区间上不单调，B选项不合乎题意；对于C选项，则，当时，此时，函数在区间上单调递减，C选项合乎题意；对于D选项，则，当时，.当时，；当时，.此时，函数在区间上不单调，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查函数新定义，考查利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12. 设函数，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）A. 不等式解集为B. 函数在单调递增，在单调递减C. 当时，恒成立，则D. 若函数有两个极值点，则实数【答案】ACD【解析】【分析】求出，从而可得，求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即
10、可.【详解】因为函数，定义域，所以，则，对于A，即，即，故A正确；对于B，当时，单调递增，故B错误；对于C，若时，总有恒成立，则，在上恒成立，即，令，则，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，故成立.对于D，函数有两个极值点，则有两个零点，即，则，令，则，在递增，在单调递减，即，故D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，（第15题第一空2分，第二空3分）共计20分.13. 函数的单调递减区间为_.【答案】【解析】函数的定义域为，且：，求解不等式：，结合函数
11、的定义域可得：，则函数的单调递减区间为.14. 若函数在区间上不单调，则实数a取值范围为_.【答案】【解析】【分析】函数在区间上不单调可以转化为导函数在区间内有解来解决【详解】解：，函数在区间上不单调，在内有解.故答案为：.【点睛】本题主要考查了导数研究函数的单调性问题.属于较易题.15. 已知函数，（），若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，则_，切线的方程为_（直线的方程写成一般式）.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设曲线与曲线的交点为，根据导数的几何意义以及斜率相等列方程可求得，根据点斜式可求得切线方程.【详解】设曲线与曲线的交点为，则，因为，所以，所以，将其代入，得，
12、因为，所以，所以，所以.所以，切线的斜率为，所以所求切线方程为：，即.故答案为：；.【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题.16. 已知函数 ，若函数有四个不同的零点，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先利用导数求出时，函数的单调性及极值，再结合题意，建立关于的不等式组，解不等式组即可得出答案【详解】当时，故函数在，单调递增，在单调递减，当时，由于最多有3个零点，最多只有一个零点，故要使函数有四个不同的零点，则需，解得故答案为：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的极值及最值，考查推理能力及计算能力，属于中档题四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写
13、出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值：（1）为实数；（2）为纯虚数；（3）在复平面内对应的点在直线上.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实数为0，虚部不为0；点在直线上，其实部与虚部的绝对值相等；【详解】（1）为实数，解得：；（2）为纯虚数，；（3）在复平面内对应的点在直线上，或.【点睛】本题考查复数的相关概念，考查运算求解能力，属于基础题.18. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1）的增区间为，减区间为；（2）最大值为，最小值为.【解析
14、】【分析】（1）对函数求导得，解不等式即可得答案；（2）令 得，再求出，即可得答案；【详解】解：（1）函数的定义域为R 由得，由得函数的增区间为，减区间为（2）令 得列表如下：x-2-10减增e由上表可知 函数在上的最大值为最小值为.【点睛】本题考查利用导数研究具体函数的最值和单调区间，考查运算求解能力.19. 已知函数（）.（1）若函数在处取得极小值，求实数的值；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，求得值，验证函数在处取得极小值即可；（2）求出原函数的导函数，对分类分析求解原函数的单调性【详解】（1）在时的极小值是1，（2），即，解得当
15、时，则当时，当时，满足函数在处取得极小值故；（2）由，得令，得或当时，在上单调递增；当时，由，解得或，由，解得，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，由，解得或，由，解得，函数在，上单调递增，在上单调递减综上：当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题20. 如图，已知海岛与海岸公路的距离为，间的距离为，从到，需要先乘船至海岸公路上的登陆点，船速为，再乘汽车至，车速为.设.（1）用表示从海岛到所用的时间，并写出的取值范围；（2）登
16、陆点应选在何处，能使从到所用的时间最少？【答案】（1）；取值范围是；（2）登陆点与的距离为时，从到所用的时间最少.【解析】【分析】（1）根据题意，求出，得到，再由，求出，得到的范围；（2）对函数求导，用导数的方法求其单调性，即可求出最值.【详解】（1）在中，又 的取值范围是；（2），由得又，当时，；当时，当时，有极小值，即最小值；此时；答：登陆点与的距离为时，从到所用的时间最少.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.21. 已知函数 （）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围.【答案】（1）；（2）
17、.【解析】【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为在上恒成立，利用基本不等式求得的最小值即可得解；（2）由题意结合函数极值点的概念可得，进而可得，转化条件为，令（），利用导数求得函数的值域即可得解.【详解】（1）的定义域为，在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；（2）由题意，有两个极值点，为方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得， ，又，解得，设（），则，在上为减函数，又，即的取值范围为.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.22. 已知函数，.（1）若，
18、求函数在上的最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导得，再讨论根与区间端点的大小关系，结合函数的单调性，可得函数在上的最小值；（2）当时，不等式恒成立，则 或，再构造函数利用导数分别求函数的最大值和最小值；【详解】解：（1），令，解得（舍负），当时，即时，恒成立，在上单调递增，所以，当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，即时，恒成立，在上单调递减，所以， 综上所述： （2）当时，不等式恒成立，所以 或由在上恒成立得，设，则，在上单调递增， ， ；由上恒成立得，设则， 在上单调递增， 综上，所求 的取值范围为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、根据不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
