1、1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件主题 充分条件和必要条件1.判断下列两个命题的真假,若为真命题,说明条件和结论有什么关系?(1)若xa2+b2,则x2ab.(2)若ab=0,则a=0.提示:(1)为真命题,(2)为假命题,(1)为真命题说明:由条件xa2+b2,通过推理可以得出结论x2ab.2.以上条件和结论的关系是否对任意一个“若p,则q”的命题都成立?提示:都成立.结论:充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p_qp_q条件关系p是q的_条件q是p的_条件p不是q的_条件q不是p的_条件充分必要充分必要【微思考】1.若p是q的
2、充分条件,这样的条件p唯一吗?提示:不唯一.例如“x1”是“x0”的充分条件,p可以是“x2”“x3”或“2x0 C.b0 D.bR【解析】选A.b=0时,直线y=kx过原点.所以b=0是直线y=kx+b过原点的充分条件.2.a0,b0的一个必要条件为()A.a+b0C.1D.-1【解析】选A.a+b0a0,b0,而a0,b0a+bbc”是“ab”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“acbc”是“ab”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件【解析】选B.当c为零时,由ac=bca=b.4.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.(1)p:四边形的对角线相等,q:四
3、边形是平行四边形.(2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.【解析】(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,所以p是q的既不充分也不必要条件.(2)因为(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2(x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0,所以p是q的充分不必要条件.类型一 充分条件和必要条件的判断【典例1】(1)(2017杭州高二检测)在等比数列an中,“a1a3”是“anan+1”的_条件(从“充分”“必要”中选择一个正确的填写).(2)(2017洛阳高二检测)下列式子:
4、a0b;ba0;b0a;0ba.其中能使成立的充分条件有_.(只填序号)【解题指南】(1)看由“a1a3”能否推出“anan+1”,由“anan+1”能否推出“a1a3”,然后下结论.(2)看,这几个条件能否推出命题成立.【解析】(1)如an=(-3)n-1,a1=(-3)0=1,a3=(-3)2=9,满足a1a3,但数列an是摆动数列,不是递增数列,所以,a1a3 anan+1;反之,若anan+1,则数列an是递增数列,则有a1a2a3,故有a1a3,因此“a1a3”是“anan+1”的必要条件.答案:必要(2)当a0b时,当ba0,0;当b0a时,当0ba时,所以能使成立的充分条件有.答
5、案:【延伸探究】1.本例(1)中条件不变,判断“anan+1”是“a1a3”的什么条件.【解析】由(1)解析知,“anan+1”是“a1a3”的充分条件.2.若把本例(1)中“a1a3”改为“a1a2”,其他条件不变,则结果如何?【解析】如an=(-1)n,a1=-1,a2=1,满足a1a2,但an不是递增数列,反之若anan+1,则有a1a2,因此“a1a2”是“anan+1”的必要条件.【方法总结】充分条件的两种判断方法【拓展延伸】充分条件和必要条件的本质区别p是q的充分条件的含义是:要使q成立,只要满足条件p就行;p是q的必要条件的含义是:要使p成立,必须满足条件q才行.从集合的观点看,
6、必要条件的意义是:设集合A=x|x满足条件p,B=x|x满足条件q,若AB,则p是q的必要条件;若AB,则p不是q的必要条件.【补偿训练】1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是“lm且ln”的_条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).【解析】llm且ln,而m,n是平面内两条直线,并不一定相交,所以lm且ln不能得到l.答案:充分2.“a0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的_条件(从“充分”“必要”中选择一个填写).【解析】当a0时,由根与系数的关系知x1x2=0,故此一元二次方程有一正根和一负根,符合题意;当ax2+2x+1=0至少有一个负数根时,a可以为0
7、,因为当a=0时,该方程仅有一根为-,所以a不一定小于0.由上述推理可知,“a0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分条件.答案:充分类型二 充分、必要条件的应用【典例2】已知p:-2x10,q:1-mx1+m,且p是q的充分条件,但不是必要条件,求实数m的取值范围.【解题指南】根据充分条件、必要条件的意义列出不等式组求解即可.【解析】因为p是q的充分条件,但不是必要条件,所以pq但q p,即x|-2x10是x|1-mx1+m的真子集,所以或解得m9.所以实数m的取值范围为m|m9.【方法总结】应用充分、必要条件求参数的取值范围根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将
8、问题转化为集合之间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组求解,注意数形结合思想的应用.【巩固训练】已知P=x|a-4xa+4,Q=x|x2-4x+30,若xP是xQ的必要条件,求实数a的取值范围.【解析】由题意知,Q=x|1x3,QP,所以解得-1a5.故实数a的取值范围是-1,5.【补偿训练】不等式(a+x)(1+x)0成立的一个充分而不必要条件是-2x-1,则a的取值范围是_.【解析】不等式变形为(x+1)(x+a)0,因当-2x-1时不等式成立,所以不等式的解为-ax-a,即a2.答案:a2【课堂小结】1.知识总结2.方法总结判断p是q的什么条件的方法主要判断pq,及qp两命题的正确性,若pq真,则p是q成立的充分条件;若qp真,则p是q成立的必要条件.要否定p与q不能相互推出时,可以举出一个反例进行否定.
