1、第八章 立体几何第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系练好题考点自测1.下列说法正确的是()A.梯形一定是平面图形B.过三点确定一个平面C.三条直线两两相交确定一个平面D.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合2.若AOB=A1O1B1,且OAO1A1,与的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OBO1B1且与的方向相同B.OBO1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行3.2017全国卷,5分如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A B C D4.多选题已知直线l平面,直线m平面,
2、则()A.若l与m不垂直,则l与一定不垂直B.若l与m所成的角为30,则l与所成的角也为30C.lm是l的充分不必要条件D.若l与相交,则l与m一定是异面直线5.2020长春市第四次质量监测已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点N是棱CC1的中点,则异面直线AN与BC所成角的余弦值为.6.2016全国卷,5分,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)拓展变式1.如图8-2-4所示,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1
3、的棱CC1,AA1的中点,试画出平面BED1F与平面ABCD的交线.图8-2-42.如图8-2-7为正方体表面的一种展开图,则在原正方体的四条线段AB,CD,EF,GH所在直线中,互为异面直线的有对.图8-2-73.2018全国卷,5分在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.4.多选题 如图8-2-13所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,N为底面ABCD的中心,P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列结论正确的是()图8-2-13A.CM与PN是异面直线B.CMPNC
4、.平面PAN平面BDD1B1D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形答 案第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系1.A对于A,因为两条平行直线确定一个平面,所以梯形可以确定一个平面,A正确;对于B,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面,注意三点不共线,B错误;对于C,三条直线两两相交,可以确定一个平面或三个平面,C错误;对于D,若两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,D错误.故选A.2.D在空间中,若两角相等,角的一边平行且方向相同,则另一边不一定平行,故选D.3.A解法一对于选项B,如图D 8-2-1所示,C,D为正方体的两个顶点,连接CD,因为ABCD,M,Q分别是所在
5、棱的中点,所以MQCD,所以ABMQ,又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,所以AB平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB平面MNQ.选A.图D 8-2-1解法二对于选项A,作出正方体的底面的对角线,记对角线的交点为O(如图D 8-2-2所示),连接OQ,则OQAB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ有交点,即AB与平面MNQ不平行,故选A.图D 8-2-24.AC对于A,当l与m不垂直时,假设l,那么由l一定能得到lm,这与已知条件矛盾,因此l与一定不垂直,A正确;易知B错误;由lm可以推出l,但是由l不一定能推出lm,因此lm是l的充分不必要条件,C正确;若l与相交,则l与m相
6、交或异面,D错误.故选AC.图D 8-2-35.因为ADBC,所以DAN为异面直线AN与BC所成的角,连接AC,在RtNAC中,因为N为CC1的中点,所以CN=1.AN=3,连接DN,在RtADN中,cosDAN=.6.对于命题,可运用长方体举反例证明其错误.如图D 8-2-3,不妨设AA所在直线为直线m,CD所在直线为直线n,ABCD所在的平面为,ABCD所在的平面为,显然这些直线和平面满足题目条件,但不成立.故错误.对于命题,设过直线n的某平面与平面相交于直线l,则ln,由m知ml,从而mn,故正确.对于命题,由平面与平面平行的性质可知,正确.对于命题,由平行的传递性及线面角的定义可知,正
7、确.1.如图D 8-2-4所示,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行.分别延长D1F与DA,则D1F与DA的延长线必相交,设交点为M.因为MD1F,MDA,D1F平面BED1F,DA平面ABCD.所以M平面BED1F平面ABCD,又B平面BED1F平面ABCD,连接MB,则平面BED1F平面ABCD=MB.故直线MB为所求两平面的交线.图D 8-2-42.3还原后的正方体的示意图如图D 8-2-5所示,其中AB与CD,AB与GH,EF与GH分别互为异面直线,共3对.图 D 8-2-53.C解法一如图D 8-2-6,补上一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1,连接DE1,B1E1.易知A
8、D1DE1,则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以DE1=2,DB1=,B1E1=,在B1DE1中,由余弦定理,得cosB1DE1=,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为,故选C.图 D 8-2-6解法二如图D 8-2-7,连接BD1,交DB1于点O,取AB的中点M,连接DM,OM.易知O为BD1的中点,所以AD1OM,则MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1=2,DM=,DB1=,所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是
9、在DMO中,由余弦定理,得cosMOD=,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为,故选C.图D 8-2-7解法三以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图D 8-2-8所示.由条件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),则由向量夹角公式,得cos=,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为,故选C.图D 8-2-84.BCD对于选项A,如图D 8-2-9,连接NC,PC.在PAC中,M为AP的中点,N为AC的中点,CN,PM交于点A,所以CM与PN共面,故A错误.对于选项B
10、,因为P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),所以ACAP.在MAC中,CM2=AC2+AM2-2ACAMcosMAC=AC2+AP2-ACAPcosMAC.图D 8-2-9在PAN中,PN2=AP2+AN2-2APANcosPAN=AP2+AC2-APACcosPAN,则CM2-PN2=(AC2-AP2)0,所以CMPN,故B正确.对于选项C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知AC平面BDD1B1,即AN平面BDD1B1,又AN平面PAN,所以平面PAN平面BDD1B1,故C正确.对于选项D,连接A1C1,在平面A1B1C1D1内作PKA1C1,交C1D1于K,连接KC.在正方体中,A1C1AC,所以PKAC,PK,AC共面,所以四边形PKCA就是过P,A,C三点的正方体的截面,AA1=CC1,A1P=C1K,所以AP=CK,即梯形PKCA为等腰梯形.故D正确.
