1、高考资源网（） 您身边的高考专家2012-2013学年广东省汕头四中高三（下）第五次月考数学试卷（理科）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知i为虚数单位，则复数i（23i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的运算法则即可化为3+2i，其对应的点为（3，2），夹角得到位于的象限解答：解：i（23i）=2i3i2=2i+3=3+2i，其对应的点为（3，2），位于第一象限故选A点评：熟练掌握复数的运算法则及几何意义是解
2、题的关键2（5分）（2013青岛一模）已知集合A=0，1，2，3，4，集合B=x|x=2n，nA，则AB=（）A0B0，4C2，4D0，2，4考点：交集及其运算专题：计算题分析：由集合B中的元素的属性用列举法写出集合B，直接取交集即可解答：解：因为集合A=0，1，2，3，4，所以集合B=x|x=2n，nA=0，2，4，6，8，所以AB=0，1，2，3，40，2，4，6，8=0，2，4故选D点评：本题考查了交集及其运算，属基础题，是会考常见题型3（5分）（2013枣庄二模）已知函数，则的值是（）A9B9CD考点：对数的运算性质专题：计算题分析：因为，所以f（）=log2=log222=20，f（
3、2）=32=，故本题得解解答：解：=f（log2）=f（log222）=f（2）=32=，故选C点评：本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解4（5分）设向量=（2，x1），=（x+1，4），则“x=3”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：由向量共线可得x的值，再由集合的包含关系可得答案解答：解：当时，有24（x1）（x+1）=0，解得x=3；因为集合3是集合3，3的真子集，
4、故“x=3”是“”的充分不必要条件故选A点评：本题考查充要条件的判断，涉及平面向量共线的坐标表示，属基础题5（5分）函数y=f（x）的图象向右平移单位后与函数y=sin2x的图象重合，则y=f（x）的解析式是（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：作图题；三角函数的图像与性质分析：逆向思考：由题意可知将函数y=sin2x的图象向左平移单位后即得函数y=f（x）的图象，根据图象平移规律及诱导公式即可得到答案解答：解：由题意可知，将函数y=sin2x的图象向左平移单位后即得函数y=f（x）的图象，由平移规律得，y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（2x+）=c
5、os（2x）故选B点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换及诱导公式，注意平移规则：左加右减，上加下减6（5分）（2013牡丹江一模）已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是（）A6B8CD3考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥PABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可解答：解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：=2两个侧面面积为：=3，前面三角
6、形的面积为：=6，四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6故选A点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力7（5分）在区间1，5和2，4分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间1，5和2，4分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解解答：解：表示焦点在x轴上且离心率小于，ab0，a2b它对应的平面区域如图中阴
7、影部分所示：则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P=，故选B点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关8（5分）在R上定义运算：xy=x（1y）若对任意x2，不等式（xa）xa+2都成立，则实数a的取值范围是（）A1，7B（，3C（，7D（，17，+）考点：其他不等式的解法专题：压轴题；新定义；不等式的解法及应用分析：由xy=x（1y），把（xa）xa+2转化为（xa）（1x）a+2，由任意x2，不等式（xa）xa+2都成立，知a令f（x）=，x2，则af（x）min，x2由此能求出结果解答：
8、解：xy=x（1y），（xa）xa+2转化为（xa）（1x）a+2，x2+x+axaa+2，a（x2）x2x+2，任意x2，不等式（xa）xa+2都成立，a令f（x）=，x2，则af（x）min，x2而f（x）=（x2）+32+3=7，当且仅当x=4时，取最小值a7故选C点评：本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题二、填空题：本大题共7小题，必做题（913题）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）考生作答6小题，每小题5分，满分30分9（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+a4+a5=12，则S7的值为28考点：等差数列的前
9、n项和专题：计算题分析：利用等差数列的性质可求得a4，而S7=7a4，从而可求得S7的值，解答：解：an为等差数列，a3+a4+a5=12，3a4=12，a4=4，又S7=7a4=28故答案为：28点评：本题考查等差数列的前n项和，着重考查利用等差数列的性质，属于中档题10（5分）若的展开式的常数项为84，则a的值为1考点：二项式定理专题：计算题分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可得到展开式的常数项解答：解：由于的展开式为 ，令183r=0 求得r=6，得其常数项为，即84a3=84，解得a=1，故答案为 1点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式
10、的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11（5分）若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）xx0，对照已知直线列出关于x0、m的方程组，解之即可得到实数m的值解答：解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为yx0lnx0=（lnx0+1）（xx0），整理得y=（lnx0+1）xx0
11、，与y=2x+m比较得，解得x0=e，故m=e故答案为：e点评：本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率等于2，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于中档题12（5分）圆x2+y2+2x+4y15=0上到直线x2y=0的距离为的点的个数是4考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：先求出圆心到直线x2y=0的距离d的值，再将d与半径左对比，从而得出结论解答：解：圆方程x2+y2+2x+4y15=0化为标准式为（x+1）2+（y+2）2=20，其圆心坐标（1，2），半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线x2y=0的距离，由图所示，圆上到直线
12、x2y=0的距离为的点有4个，故答案为 4点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题13（5分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是3018考点：循环结构专题：图表型分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到第2012次循环结束时输出S的值即可解答：解：由题意，a2009=1，a2010=2009，a2011=1，a2012=2013；以上共503行，输出故答案为：3018点评：本题考查程序框图的理解和运算需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时S值，属基础题14（5分）（几何证明
13、选讲选做题）如图，已知AB是O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交O于C，若AP=4，PB=2，则PC的长是2考点：与圆有关的比例线段专题：计算题；直线与圆分析：根据题设中的已知条件，利用相交弦定理，直接求解解答：解：AB是O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP，PC交O于C，APPB=PC2，AP=4，PB=2，PC2=8，解得PC=2故答案为：2点评：本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题解题时要认真审题，注意相交弦定理的合理运用15（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin+cos=1
14、，则直线l截圆C所得的弦长是考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程专题：直线与圆分析：利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出解答：解：直线l的极坐标方程为sin+cos=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；由圆C的参数方程为（为参数），消去参数化为普通方程x2+（y2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1直线l截圆C所得的弦长=2=故答案为点评：熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）（2012湖北模拟）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
15、（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；函数的零点；平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性专题：平面向量及应用分析：（1）由题意可得f（x）的解析式，可得周期，由整体法可得单调区间；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k2sin（2x），原问题可转化为方程sin（2x）=1+在区间（0，）上恰有两根，可得不等式1且1+，解之即可解答：解：（1）由题意可得f（x）=cos2xcos（2x）+1=cos2xcos2xsin2x+1=cos2xsin2x+1=1sin（2x），所以其最小正周期为，由2k2x2k+解得，kZ，
16、故函数的单调递减区间为：（k，k+），kZ，（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k2sin（2x）因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，即方程sin（2x）=1+在区间（0，）上恰有两根，1且1+，解得4k0，且k3点评：本题为三角函数与向量的结合，涉及三角函数的周期单调性和函数的零点，属中档题17（12分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：实验顺序第一次第二次第三次第四次第五次零件数x（个）1020304050加工时间y（分钟）6267758089（1）在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a，b，求事件“a
17、，b均小于80分钟”的概率；（2）请根据第二次，第三次，第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间考点：回归分析的初步应用专题：计算题；概率与统计分析：（1）确定a，b构成的基本事件、“a，b均小于80分钟”的基本事件的个数，即可求得概率；（2）分别计算回归系数，利用公式，可得y关于x的线性回归方程；（3）利用线性回归方程，代入计算可得结论解答：解：（1）a，b构成的基本事件（a，b）有：（62.67），（62，75），（62，80），（62，89），（67，75），（67，80），（67，89），（75，80），（75，89
18、），（80，89）共有10个 （2分）其中“a，b均小于80分钟”的有（62.67），（62，75），（67，75）共3个（3分）事件“a，b均小于80分钟”的概率为（4分）（2），（5分）（6分）=（8分）（9分）y关于x的线性回归方程=（10分）（3）由（2）知y关于x的线性回归方程为=，当x=70时，（11分）预测加工70个零件需要100分钟的时间（12分）点评：本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归，样本估计总体等知识，考查或然与必然，样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识18（14分）某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数
19、如下表所示：中学 A B C D人数 30 40 20 10为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查（1）问A，B，C，D四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得A中学的学生人数，求的分布列考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率专题：概率与统计分析：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个
20、数的比值为据此即可计算出答案；（2）利用组合的意义分别计算出从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的方法和这两名学生来自同一所中学的取法，再利用古典概型的概率计算公式即可得出；（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10可得的可能取值为0，1，2利用超几何分布的概率计算公式P（=k）=（k=0，1，2），即可得到分布列，利用数学期望的概率计算公式即可得出解答：解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5（2）设
21、“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有=1225种，这两名学生来自同一所中学的取法共有=350=从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为（3）由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自A，C两所中学的学生人数分别为15，10依题意得，的可能取值为0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=的分布列为：012P点评：本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识19（14分）如图，已
22、知四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，PA面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM，AN，MN（1）求证：MN面PAD；（2）若MN=5，AD=3，求二面角NAMB的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角专题：空间角；空间向量及应用分析：（1）要证明线面平行，需要设法在平面PAD内找到与MN平行的直线，因为给出的M，N分别是DC和PB的中点，所以联想到找PA的中点E，然后利用三角形的中位线知识结合底面是正方形证出DEMN，则问题得到证明；（2）求二面角NAMB的余弦值，可采用找二面角的平面角的办法，因为易证平面PAB平面ABCD，所
23、以可以直接过N作AB的垂线垂足为G，则该垂线垂直于底面，然后过垂足G作AM的垂线GF，连接NF，则二面角的平面角找出，然后利用题目给出的条件，通过解直角三角形进行求解即可解答：（1）证明：如图，取PA的中点E，连接DE，EN，点N是PB的中点，点M是CD的中点，底面ABCD是正方形，ENDM，EN=DM四边形EDMN是平行四边形MNDEDE平面PAD，MN平面PAD，MN面PAD；（2）解：取AB中点G，连结NG，则NGPA，PA面ABCD，NG面ABCDAM面ABCD，NGAM过G作GFAM，垂足为F，连接NF，NGGF=G，NG面NGF，GF面NGF，AM面NGFNF面NGF，AMNFNF
24、G是二面角NAMB的平面角在RtNGM中，MN=5，MG=AD=3，得，在RtMGA中，得，在RtNGF中，二面角NAMB的余弦值为点评：本题考查了线面平行的判定，考查了二面角的平面角的求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题20（14分）如图，已知抛物线P：y2=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OAOB，OC与AB交于点M（1）求点M的轨迹方程；（2）求四边形AOBC的面积的最小值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题专题：向量与圆锥曲线分析：解法一：（1）设，由，OC与AB交于点M可知：M是线段AB的中点利用中点坐标公式可得：，由OAOB，利
25、用数量积得得到依题意知y1y20，得到y1y2=1把、代入即可得到轨迹方程；（2）依题意得四边形AOBC是矩形，可得四边形AOBC的面积为=再利用基本不等式的性质即可得出解法二：（1）依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，由于OAOB，则直线OB的斜率为故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为把直线方程与抛物线方程联立即可得出点A，B的坐标，再利用，即可得到线段AB的中点M的坐标即可得出轨迹方程（2）依题意得四边形AOBC是矩形，可得四边形AOBC的面积为=，利用基本不等式即可得出解答：解法一：（1）解：设，OC与AB交于点MM是线段AB的中点，OAOB，依题意知y1y
26、20，y1y2=1把、代入得：，即点M的轨迹方程为（2）解：依题意得四边形AOBC是矩形，四边形AOBC的面积为=，当且仅当|y1|=|y2|时，等号成立，四边形AOBC的面积的最小值为2解法二：（1）解：依题意，知直线OA，OB的斜率存在，设直线OA的斜率为k，由于OAOB，则直线OB的斜率为故直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由消去y，得k2x2x=0解得x=0或点A的坐标为同理得点B的坐标为（k2，k），M是线段AB的中点设点M的坐标为（x，y），则，消去k，得点M的轨迹方程为（2）解：依题意得四边形AOBC是矩形，四边形AOBC的面积为=2当且仅当，即k2=1时，等号成立四边形
27、AOBC的面积的最小值为2点评：本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式、向量的中点坐标公式及意义等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识21（14分）在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为An，令an=log2An，nN（1）求数列An的前n项和Sn；（2）求Tn=tana2tana4+tana4tana6+tana2ntana2n+2考点：数列与三角函数的综合；等比数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）设构成递增的等比数列n+2个数分别为b1，b2，b3，
28、bn+2，其中b1=1，bn+2=2利用倒序相乘的方法，结合等比数列的性质算出，再由等比数列定义证出An是首项为，公比为的等比数列，由此不难算出数列An的前n项和Sn；（2）由（1）的结论，算出，从而得到tana2ntana2n+2=tan（n+1）tan（n+2），根据两角差的正切公式结合配角的方法，证出等式（nN*），由此作为通项代入Tn的表达式，化简合并后即可得到（nN*）解答：解：（1）根据题意，n+2个数构成递增的等比数列，设为b1，b2，b3，bn+2，其中b1=1，bn+2=2，可得An=b1b2bn+1bn+2，；An=bn+2bn+1b2b1，由等比数列的性质，得b1bn+2=b2bn+1=b3bn=bn+2b1=2，得=2n+2An0，因此，可得（常数），数列An是首项为，公比为的等比数列数列An的前n项和Sn=（2）由（1）得，从而tana2ntana2n+2=tan（n+1）tan（n+2）=即Tn=tana2tana4+tana4tana6+tana2ntana2n+2点评：本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！
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