1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层作业 十等差数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列an的前10项和为30,a6=8,则a100=()A.100B.958C.948D.18【解析】选C.设等差数列an的公差为d,由已知解得所以a100=-42+9910=948.2.已知等差数列an的公差为3,且a1+a3=8,则数列an的前4项的和S4的值为()A.10B.16C.22D.35【解析】选C.因为等差数列an的公差为3,且a1+a3=8,所以2a1+23=
2、8,所以a1=1,所以S4=41+3=22.3.(2019玉溪高二检测)已知等差数列的前n项和Sn,且S3=S5=15,则S7=()A.4B.7C.14D.【解析】选B.等差数列的前n项和为Sn,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,则S7=7a1+d=49+21(-2)=7.4.(2019大庆高一检测)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=()A.45B.162C.81D.【解析】选C.因为在等差数列an中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9=9a5=81
3、.5.等差数列an的前n项和为Sn,若=,则下列结论中正确的是()A.=2B.=C.=D.=【解析】选C.由已知Sn=an,Sn-1=an-1(n2),两式相减可得an=an-an-1(n2),化简得=(n2),当n=3时,=.6.数列an的前n项和Sn=2n2+n(nN*),则an=()A.2n-1B.2n+1C.4n-1D.3n+2【解析】选C.因为数列an的前n项和Sn=2n2+n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n-2(n-1)2+(n-1)=4n-1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以综上an=4n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列an的前n项
4、和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=_.【解析】方法一:设数列an的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因为an为等差数列,可设前n项和Sn=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即Sn=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.设等差数列an的前n项和为Sn,若S8=32,则a2+2a5+a6=_.【解析】因为S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=28=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.在各项为正的等差数列an中,已知公差d=2,an=11,
5、Sn=35,求a1和n.【解析】由题意得即解得或(舍去)故10.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由anan+1=Sn-1知,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1,又因为an+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,得a2=-1,由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.所以an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n
6、-1)4=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得an为等差数列.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列1-3n,则公差d等于()A.1 B.3 C.-3 D.n【解析】选C.因为an=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.设等差数列an的前n项和为Sn,若S17=255,a10=20,则数列an的公差为()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20
7、,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差数列中,Sn是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=()A.0B.10C.20D.25【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,即,解得,则S11=2511-5=0.故选A.4.已知等差数列an中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186【解析】选C.因为所以故所以an=a1+(n-1)d=3n,故bn=a2n=6n,则因此bn的前5项和为S5=56+6=90.5.(2019定州高一检测)记等差数列an的前n项和为Sn,若a5=3,S13=91,则S11=(
8、)A.36B.72C.55D.110【解析】选C.因为S13=13a7=91,所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,因为a1+a11=a5+a7=10,所以S11=55.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则= _.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以=4.答案:47.若数列an的前n项和Sn=n2-8n,n=1,2,3,则满足an0的n的最小值为_.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.(2)当n1时,由Sn=n2-8n得
9、:Sn-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,两式相减,得:an=2n-9,n=1也符合,由an=2n-90,得:n4.5,所以,满足an0的n的最小值为5.答案:58.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n+3,则an=_.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n2,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故an=答案:9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有
10、9圈,则前9圈的石板总数是_. 【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以an=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.答案:405三、解答题(每小题10分,共30分)10.等差数列an的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50.(1)求通项an.(2)令Sn=242,求n.【解析】(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以an=2n+10.(2)由Sn=na1+d,Sn=2
11、42,得方程12n+2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值范围.【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7.综上,S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d28.故d的取值范围为d-2或d2.12.(2017江苏高考)对于给定的正整数k,若数列an满足an-k
12、+an-k+1+an-1+an+1+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(nk)总成立,则称数列an是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列an是“P(3)数列”.(2)若数列an既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:an是等差数列.【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差数列是“P数列”.(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,
13、因此,当n3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,当n4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-1+an),将代入,得an-1+an+1=2an,其中n4,所以a3,a4,a5,是等差数列,设其公差为d.在中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d+a3+3d=4(a3+d),即a2=a3-d,在中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d,所以a1+a2+a2+2d+a2+3d=4(a2+d),即a1=a2-d,所以数列an是等差数列.关闭Word文档返回原板块
