1、课时分层作业(二十三)基本不等式:(建议用时:60分钟)一、选择题1下列结论正确的是()A当x0且x1时,lg x2B当x0时,2C当x2时,x的最小值为2D当0x2时,x无最大值BA中,当0x1时,lg x2xC1 Dx2C对于A,当x0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x1时,x212x,故B不成立;对于D,当x0时,不成立对于C,x211,1成立,故选C.3设a,b为正数,且ab4,则下列各式中正确的一个是()A1 B1C B2,故.5若x0,y0,且1,则xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64D由题意xyxy2y8x28,8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x4,
2、y16.二、填空题6若a0,b0,且,则a3b3的最小值为 4a0,b0,2,即ab2,当且仅当ab时取等号,a3b3224,当且仅当ab时取等号,则a3b3的最小值为4.7已知0x0,a恒成立,则a的取值范围是 因为x0,所以x2.当且仅当x1时取等号,所以有,即的最大值为,故a.三、解答题9(1)已知x3 ,求f(x)x的最大值;(2)已知x,y是正实数,且xy4,求的最小值解(1)x3,x30,f(x)x(x3)33231,当且仅当3x,即x1时取等号,f(x)的最大值为1.(2)x,y是正实数,(xy)4()42.当且仅当,即x2(1),y2(3)时取“”号又xy4,1,故的最小值为1
3、.10某种汽车,购车费用是10万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?解设使用x年平均费用最少由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列因此,汽车使用x年总的维修费用为x万元设汽车的年平均费用为y万元,则有y1123.当且仅当,即x10时,y取最小值即这种汽车使用10年时,年平均费用最少1若4x1,则f(x)()A有最小值1 B有最大值1C有最小值1 D有最大值1Df(x)(x1),又4x1,x10.故f(x)(x1)1.当且仅当x1,即x0时等号成立2
4、已知x0,y0,且xy8,则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25C9 D36B(1x)(1y)25,因此当且仅当1x1y,即xy4时,(1x)(1y)取最大值25,故选B.3已知x0,y0,lg 2xlg 8ylg 2,则的最小值为 4由lg 2xlg 8ylg 2,得2x8y2,即2x3y21,x3y1,(x3y)1122224.当且仅当,即x,y时等号成立4若实数x、y满足x2y2xy1,则xy的最大值是 x2y2xy1,(xy)21xy.xy,(xy)21,整理求得xy,xy的最大值是.5某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单
5、位:万件)与年促销费用m(m0)(单位:万元)满足x3(k为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2019年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大?解(1)由题意,可知当m0时,x1,13k,解得k2,x3,又每件产品的销售价格为1.5元,yx(816xm)48xm48m29(m0).(2)m0,(m1)28,当且仅当m1,即m3时等号成立,y82921,ymax21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元