1、平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计一、内容和内容分析1内容平面向量数量积的物理背景及其含义2内容分析本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念、几何意义、性质和运算律；第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课首先通过小马拉车的动画中抽象出物理中“功”的事例，之后抛开物理背景，将,这两个物理中的矢量，推广到数学中一般的非零向量，从而得到数学中平面向量数量积的概念，体现了有特殊到一般的数学思想，同时培养学生的抽象概括能力；然后从“形”的角度引入“投影”探究数量积的几何意义，使学生加深对数量积概念的理解，同时体现了数形结合的数学思想；“数量积”和“投影”均为数
2、量，对其正、负、零的讨论过程，体现了分类讨论的数学思想；然后又通过类比实数乘法的运算律研究了数量积的运算律，体现“类比”的数学思想。本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作用。平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。这些都使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。二、三维目标1、知识与技能： （1）理解平面向量
3、数量积的几何意义及其物理意义； （2）掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系； （4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法 （1）在学习和运用向量的数量积的过程中，进一步体会平面向量本质及它与生活和自然科学联系，认识事物的统一性，并通过学习向量的数量积感受数形结合的思想方法； （2）培养学生数形结合的思想方法以及分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。 （3）通过对向
4、量的数量积的探究、交流、总结，从各角度、用各方法来体会向量之间的关系和作用，不断从感性认识提高到理性认识，。3、情态与价值观 （1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。 （2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神；三、学情分析我们的学生是普通学生，知识掌握的不够扎实，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于
5、基本概念不清楚，所以讲解时需要详细。四、教学方法1实验法：多媒体。2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨当堂检测、能力提高布置作业、反思总结五、课前准备1学生的学习准备：预习学案。2教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。六、课时安排：1课时七、教学过程 （一）、知识准备 1.两个非零向量夹角是怎样求解的？为什么不能是零向量？零向量与任一向量的夹角是多少？夹角的范围是_ _，其中时，；当或时， 。与任意向量的夹角_，为什么？2.用五点法作出余弦函数的图象并填空。 当时，时， 当时， 当时，时，
6、3.我们研究了向量的哪些线性运算，这些运算的结果是向量还是数量？4.如图，小车在力的作用下产生位移，那么（） 力所做的功；（） 请同学们分析这个公式的特点： （功）是_量，（力）是_量， （位移）是_量，是_。（） 你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？【我的疑惑】【设计意图】（学生课下完成）通过知识准备的问题让学生复习回顾相关知识，为平面向量数量积的学习奠定基础。（二）创设情境多媒体展示小马拉车的动画，从中抽象出数量积的物理背景。问题1、小马拉车，沿着绳子方向上的力为，车移动的位移是，力和位移的夹角为，小马所做的功为多少？学生根据所学物理知识容易得到：问题2、决定功大小的量有哪几个？问题3、
7、力、位移及其夹角分别是矢量还是标量？功是向量还是数量？教师：明确物理中的矢量就是数学中的向量，物理中的标量就是数学中的数量。【设计意图】（从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。 （三）、合作探究探究一：平面向量的数量积的概念。已知两个非零向量与，类比力所做的功，也可以有 平面向量数量积的概念： 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作：，即：。的范围是_。 注意： 数量积（内积）的运算结果是一个_。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为_,即：。 记法“”中间的“ ”不可以
8、省略，也不可以用“ ”代替。 问题4：由数量积的定义可知，决定数量积大小的量有哪些？问题5：数量积的结果为数量，数量积的正、负、零由谁决定？教师：说明清楚数量积定义及需注意的三点，用提出问题的方式引导学生思考得出结论。学生：在老师的引导下思考并回答。【设计意图】在与功类比的基础上从特殊到一般引入平面向量数量积，有利于学生的知识迁移和概念准确理解，认识到向量夹角是决定数量积结果的重要因素，体验对向量夹角的分类讨论。探究二：平面向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积 大小的因素有哪些？它什么时候为正？什么时候为负？为零？它的符号由谁决定？0 口答：1.已知，=4，与夹角为，则 2.
9、已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)= (2) = (3)= 【设计意图】在定义的基础上，提出问题探究二的问题，有利于学生思考决定向量数量积正负的因素，为之后判断三角形的形状提供基础。学生口答几个简单问题，可增强学生自信心。教师强调易错点，及求向量夹角要共起点。 探究三：平面向量数量积的性质。 若和均为非零向量，为和的夹角，垂直 共线同向反向绝对值 符号 夹角公式 教师：学生口答表格内容，其他学生纠正补充。教师再强调重要的几点：垂直、夹角、模。并板书。【设计意图】及时巩固所学概念，熟练数量积的求解要点，特别是两向量的夹角是多少？加深对定义的理解。 探究四：平面向量数量积的运算律。类比实数
10、乘法运算律，请填下表：运算律实数乘法向量的数量积交换律结合律分配律【设计意图】在这个环节中，仍然是为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养学生的推理论证能力，同时也增强了学生类比创新意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。探究五：平面向量数量积的几何意义是什么？（1） “投影”的概念： 从形上看： 从数上看：_叫做在方向上的投影；类似地，_叫做在方向上的投影。 注意：投影也是一个数量而不是向量，它的符号取决于_。（2） 平面向量数量积的几何意义：_。 【设计意图】教师展示向量投影的形成过程，让学生形象、直观的感受向量投影及其含义
11、，让学生从“形”的角度重新认识平面向量数量积，从中体会数量积与向量投影的关系。使学生对平面向量数量积这一全新概念的理解更加深刻。（四）典例分析例1、证明：（1）；（2）。证明：（1）（2）例2、已知，与的夹角，求。解：例3、已知，且与不共线。为何值时，向量与互相垂直？解：与互相垂直的条件是，即。因为 ，所以 。解之得：。也就是说，当时，与互相垂直。【设计意图】例1、例2是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。（五）、能力提升1判断下列说法是否正确.(1) ；(2) 若，则，至少有一个为零向量； (3) 若，则的夹角为锐角；(4) 若
12、 ，则.2在等腰中，AB=AC,BC=4 ,则= 3.已知，与 的夹角为，求.4.在中且 则是（ ）A、 锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定【设计意图】通过巩固练习，使学生对数量积的定义、性质、几何意义以及运算律的理解更加深刻，形成系统的知识体系；同时培养了运用知识解决问题的能力。（六）、课堂小结学生自主完成归纳小结，教师加以补充完善，同时形成本节课的知识结构图，并完成思想方法的小结归纳。1平面向量数量积的定义2平面向量数量积的性质(垂直、长度、夹角)3平面向量数量积的几何意义4平面向量数量积的运算律【设计意图】通过学生对本节所学知识、思想方法进行提炼、反思，加深对知识、
13、方法的理解，形成系统的知识网络，并培养学生良好的学习习惯。（七）、布置作业（一）.课外探究： 两个平面向量还有另一个乘法运算，大家知道吗？那就是矢量积（“ ”积）。请各位同学以小组的形式在图书馆或网上查询资料，完成矢量积概念的学习和性质的探究，并形成自己的成果小论文在之后的探究学习中展示交流.（二） 完成P108习题2.4 A组1、2、3、6、7、8 【设计意图】（1）巩固本节课所学内容；（2）分层布置作业，尊重学生的个体差异，让不同的学生有不同的发展。（八）、学后反思1. 预习:2. 课上学习：3. 和以前知识的联系？ 【设计意图】让学生学会联系的学习知识，并且清楚预习的重要性，及时发现学习中的问题并改进相应措施。
