1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年湖北省潜江、天门、仙桃市联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效1已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2集合A=x|（x1）（x2）=0，AB=1，2，则满足条件的集合B有（）A1个B2个C3个D4个3一首小诗数灯，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（）A252 盏B256盏C508 盏D
2、512盏4已知0，则双曲线与C2：=1的（）A实轴长相等B虚轴长相等C焦距相等D离心率相等5在四边形ABCD中，“R，使得=， =”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知点M（a，b）（a0，b0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则ax+by1的值（）A一定等于0B一定是负数C一定是正数D可能为正数也可能为负数7一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD8斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，则线段AB的
3、长为（）ABCD89已知x（0，），且，则tanx=（）ABCD10已知数列an的前n项和，bn=2nan，cn=2an+1an（nN*）则（）Abn是等差数列，cn是等比数列Bbn是等比数列，cn是等差数列Cbn是等差数列，cn是等差数列Dbn是等比数列，cn是等比数列11方程x=x+a有解（x表示不大于x的最大整数），则参数a的取值集合是（）Aa|0a1Ba|1a0Ca|1a1Da|aR，aZ12如果存在正实数a，使得f（xa）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”给出下列四个函数：f（x）=（x1）5+5f（x）=cos2（x）f（x）=sinx+cosxf（x
4、）=ln|x+1|其中“和谐函数”的个数为（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13已知a=，则二项式的展开式中的常数项为14已知f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=x（1+x），则满足f（x）2的x的取值范围是15在半径为R的球内截取一个最大的圆柱，则其体积之比V圆柱：V球的比值为16数列an满足an+1=，a8=2，则a1=三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17-第21题为必做题，第22-24为选做题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框
5、内17已知函数的最大值为1（）求常数a的值；（）若A为ABC的内角，ABC的面积为，AB=，求BC的长18甲、乙两人都准备于下午12：0013：00之间到某车站乘某路公交车外出，设在12：0013：00之间有四班该路公交车开出，已知开车时间分别为12：20；12：30；12：40；13：00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率（1）他们各自选择乘坐每一班车是等可能的；（2）他们各自到达车站的时刻是等可能的（有车就乘）19矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形沿对角线AC折起，使B点与P点重合，点P在平面ACD内的射影M正好在AD上（）求证CDPA；（）求二面角PACD的余弦值20已知椭圆
6、=1（ab0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|=（其中O为坐标原点）（）求椭圆的方程；（）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM交椭圆于点P，试问：x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线OP、MQ的交点；若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=x2+ln（xa）aR（）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；（）当a2时，用g（a）表示f（x）在1，0上的最大值，求g（a）的表达式四.请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分作
7、答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑（选修4-1几何证明选讲）22如图ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（）证明：ABEADC；（）若BC为ABC外接圆的直径且ADAE=2，求ABC的面积（选修4-4坐标系与参数方程选讲）23已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为常数）（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围（选修4-5不等式选讲）24设函数f（x）=|x+1|+|x5|，xR（1）求不等式f（x）x+10的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）a（x2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年湖
8、北省潜江、天门、仙桃市联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效1已知复数（其中i为虚数单位），则复数z在坐标平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数对应点的坐标得答案【解答】解：由=，得复数z在坐标平面内对应的点的坐标为（），在第四象限故选：D2集合A=x|（x1）（x2）=0，AB=1，2，则满足条件的集合B有（）A1个B2个C3个D4
9、个【考点】并集及其运算【分析】先求出集合A，从而求出集合B的元素的个数即可【解答】解：集合A=x|（x1）（x2）=0，A=1，2，AB=1，2，则满足条件的集合B有：22=4个，故选：D3一首小诗数灯，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增，顶层数来有4盏，塔上共有多少灯？”答曰（）A252 盏B256盏C508 盏D512盏【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知可得：数列an为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由已知可得：数列an为等比数列，a1=4，n=7，公比q=2S7=508故选：C4已知0，则双曲线与C2：=1的（）A实轴长相等B
10、虚轴长相等C焦距相等D离心率相等【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的标准方程求出双曲线的几何性质同，即可得出正确答案【解答】解：双曲线的实轴长为2cos，虚轴长2sin，焦距2，离心率，双曲线的实轴长为2sin，虚轴长2sintan，焦距2tan，离心率，故它们的离心率相同故选D5在四边形ABCD中，“R，使得=， =”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可
11、【解答】解：由在四边形ABCD中，“R，使得=， =”，得出ABDC，ADBC，得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：=1R，使得AB=DC，AD=BC，故在四边形ABCD中，“R，使得AB=DC，AD=BC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件故选C6已知点M（a，b）（a0，b0）是圆C：x2+y2=1内任意一点，点P（x，y）是圆上任意一点，则ax+by1的值（）A一定等于0B一定是负数C一定是正数D可能为正数也可能为负数【考点】点与圆的位置关系【分析】由题意，a2+b21，x2+y2=1，利用基本不等式，即
12、可得出结论【解答】解：由题意，a2+b21，x2+y2=1，ax+by（a2+x2）+（b2+y2）1，ax+by10，故选：B7一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四
13、个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+=，故选A8斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，则线段AB的长为（）ABCD8【考点】抛物线的简单性质【分析】求得焦点，设出直
14、线方程，代入抛物线的方程，解得交点坐标，由两点的距离公式，即可得到所求值【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），直线l的方程为y=x1，代入抛物线的方程，可得x26x+1=0，解得x=32，交点为A（3+2，2+2），B（32，22），即有|AB|=8故选：D9已知x（0，），且，则tanx=（）ABCD【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】由和差角的公式化简可得cosx+sinx=，结合cos2x+sin2x=1和x的范围可得sinx和cosx的值，可得tanx【解答】解：，cosx+sinx=，cosx+sinx=，又cos2x+sin2x=1，x（0，），sinx0，联立解得sin
15、x=，cosx=，tanx=故选：C10已知数列an的前n项和，bn=2nan，cn=2an+1an（nN*）则（）Abn是等差数列，cn是等比数列Bbn是等比数列，cn是等差数列Cbn是等差数列，cn是等差数列Dbn是等比数列，cn是等比数列【考点】等比关系的确定；等差关系的确定【分析】数列an的前n项和，a1=a11+2，解得a1当n2时，an=SnSn1，化为：2nan2n1an1=1，再利用等差数列与等比数列的定义及其通项公式即可得出【解答】解：数列an的前n项和，a1=a11+2，解得a1=当n2时，an=SnSn1=an+2，化为：，变形为：2nan2n1an1=1，又bn=2na
16、n，bnbn1=1，数列bn是等差数列，首项为1，公差为1另一方面：由，可得2anan1=，又cn=2an+1an（nN*），则cn=，数列cn是等比数列，首项为，公比为故选：A11方程x=x+a有解（x表示不大于x的最大整数），则参数a的取值集合是（）Aa|0a1Ba|1a0Ca|1a1Da|aR，aZ【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】化简a=xx，从而确定1xx0，从而解得【解答】解：x=x+a，a=xx，x表示不大于x的最大整数，1xx0，参数a的取值集合是a|1a0，故选B12如果存在正实数a，使得f（xa）为奇函数，f（x+a）为偶函数，我们称函数f（x）为“和谐函数”给出下列
17、四个函数：f（x）=（x1）5+5f（x）=cos2（x）f（x）=sinx+cosxf（x）=ln|x+1|其中“和谐函数”的个数为（）A1B2C3D4【考点】函数奇偶性的性质【分析】由f（0）=40，故无论正数a取什么值，f（xa）都不是奇函数，因此函数f（x）不可能是“和谐函数”；先化简f（x）=sin2x，因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；由f（x）=sinx+cosx=，因为只有将函数f（x）的图象向左的整数倍时，才为奇函数或偶函数，代入进行验证看是否符合“和谐函数”的定义即可；只有f（x1）=ln
18、|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故可得出答案【解答】解：由f（x）=（x1）5+5f（0）=40，无论正数a取什么值，f（xa）都不是奇函数，函数f（x）不可能是“和谐函数”；f（x）=cos（2x）=sin2x，当时，f（xa）=sin（2x2k）=cos2x为偶函数；当时，f（xa）=sin（2x（2k）=sinx为奇函数因为只有将函数f（x）的图象向左或向右平移的整数倍时，才为奇函数或偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”；由f（x）=sinx+cosx=，因为f（x）=sinx是奇函数，f（x+）=cosx是偶函数，故是“和谐函数”；f（x）
19、=ln|x+1|，只有f（x1）=ln|x|为偶函数；而f（x+1）=ln|x+2|为非奇非偶函数，故不存在正数a使得函数f（x）是“和谐函数”综上可知：都不是“和谐函数”故答案为1个故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分13已知a=，则二项式的展开式中的常数项为15【考点】二项式定理的应用；定积分【分析】运用积分公式得出a=1，二项式的展开式中项为：Tr+1=C6r（1）r，利用常数项特征求解即可【解答】解：a=sinx=1，二项式的展开式中项为：Tr+1=C6r（1）r，当6r=0时，r=4，常数项为：
20、C64（1）4=15故答案为：1514已知f（x）为偶函数，且当x0时，f（x）=x（1+x），则满足f（x）2的x的取值范围是1，1【考点】函数奇偶性的性质【分析】可令x（1+x）=2，根据x0从而解得x=1，根据二次函数的单调性容易判断f（x）在0，+）上单调递增，这样便可由f（x）2得到f（|x|）f（1），根据f（x）在0，+）上单调递增便可得出|x|1，从而便可得出满足f（x）2的x的取值范围【解答】解：令x（1+x）=2，解得x=1，或2（舍去）；x0时，f（x）=x2+x，对称轴为x=，在0，+）上单调递增；f（x）为偶函数；由f（x）2得，f（|x|）f（1）；|x|1；1x1
21、；满足f（x）2的x的取值范围是1，1故答案为：1，115在半径为R的球内截取一个最大的圆柱，则其体积之比V圆柱：V球的比值为【考点】球内接多面体【分析】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，可得R2=r2+，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，得到圆柱体积最大时的底面半径的值，即可求出V圆柱：V球【解答】解：设圆柱体的底面半径为r，高为h，则R2=r2+，R2=r2+=r2+r2+3，r2h圆柱的体积V=r2h当且仅当r2=h2，即h=R，r=R时，V取最大值V球=，V
22、圆柱：V球=，故答案为：16数列an满足an+1=，a8=2，则a1=【考点】数列递推式【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值【解答】解：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；根据以上结果发现，求得结果按2，1循环，83=22，故a1=故答案为：三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17-第21题为必做题，第22-24为选做题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤把答案填在答题卡上对应题号指定框内
23、17已知函数的最大值为1（）求常数a的值；（）若A为ABC的内角，ABC的面积为，AB=，求BC的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+）+a由最大值为1可2+a=1，解方程可得；（）由题意和（）可得，由三角形的面积公式可得b=2，再由余弦定理可得【解答】解：（）由三角函数公式化简可得：f（x）=sinx+cosx+sinxcosx+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（x+）+a由最大值为1可2+a=1，解得a=1，；（）由，得，b=2，a2=b2+c22bccosA=4，a=2，即BC的长为218甲、乙两人都准备于下午12：0013
24、：00之间到某车站乘某路公交车外出，设在12：0013：00之间有四班该路公交车开出，已知开车时间分别为12：20；12：30；12：40；13：00，分别求他们在下述情况下坐同一班车的概率（1）他们各自选择乘坐每一班车是等可能的；（2）他们各自到达车站的时刻是等可能的（有车就乘）【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）为古典概型，可得总数为44=16种，符合题意得为4种，代入古典概型得公式可得；（2）为几何概型，设甲到达时刻为x，乙到达时刻为y，可得0x60，0y60，作出图象由几何概型的公式可得【解答】解：（1）他们乘车总的可能结果数为44=16种，乘同一班车的可能结果数为
25、4种，由古典概型知甲乙乘同一班车的概率为P=（2）利用几何概型，设甲到达时刻为x，乙到达时刻为y，可得0x60，0y60试验总结果构成区域为图，乘坐同一班车的事件所构成的区域为图中4个黑色小方格，故所求概率为P=19矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形沿对角线AC折起，使B点与P点重合，点P在平面ACD内的射影M正好在AD上（）求证CDPA；（）求二面角PACD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）推导出PMCD，CDAD，从而CD平面PAD，由此能证明CDPA（II）作MNAC，垂足为N，连接PN，推导出PNM为所求二面角的平面角，由此能求出所求
26、二面角的余弦值【解答】证明：（）M是P点在平面AC的内的射影，PM平面ACDPMCD，又ABCD是矩形，CDAD，CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA解：（II）作MNAC，垂足为N，连接PN，由PM平面ACD，得PMAC，ACPN，PNM为所求二面角的平面角 设AM=a，在rtACM中，MAC=30，AC=2在rtPMA中，PM2=1a2在rtPMC中，由PC2=PM2+MC2得，从而，在rtPAC中，在rtPMN中， =，即所求二面角的余弦值为20已知椭圆=1（ab0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|=（其中O为坐标原点）（）求椭圆的方程；（）若C、D分别是椭圆长
27、轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连结CM交椭圆于点P，试问：x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆经过直线OP、MQ的交点；若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）通过|OA|=|OF|=可得b、c的值，进而可得结论；（）通过（1）知C（2，0），D（2，0），设直线CM方程并与椭圆联立，利用韦达定理可得点P坐标，利用=0，计算即得结论【解答】解：（）|OA|=|OF|=，a2=b2+c2=4，椭圆方程为：；（）结论：存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点理由如下：由（1）知：C（2，0），
28、D（2，0）由题意可设CM：y=k（x+2），P（x1，y1）MDCD，M（2，4k），联立，消去y，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k24=0，=（8k2）24（1+2k2）（8k24）0，设Q（x0，0），且x02，若以MP为直径的圆经过DP，MQ的交点，则MQDP，=0恒成立，即恒成立，x0=0存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点21已知函数f（x）=x2+ln（xa）aR（）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；（）当a2时，用g（a）表示f（x）在1，0上的最大值，求g（a）的表达式【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方
29、程【分析】（）求出函数的导数，令h（x）=2x22ax+1，得到关于a的不等式组，解出即可；（）求出函数的单调区间，根据二次函数的性质，求出f（x）的最大值，从而求出g（a）的表达式【解答】解：（）f（x）有两个不同的极点令h（x）=2x22ax+1，则h（x）有两个大于a的零点；（）由（）知当a2时，f（x）在，上单调递增；在上单调递减，又，故x20，注意到h（x）=2x22ax+1的对称轴h（1）=3+2a0，h（0）=10，可推知1x20，当x1，0时，g（a）=f（x）max=maxf（1），f（0）而f（0）=ln（a），f（1）=1+ln（1a），又若，但，故f（0）f（1）不成立
30、综上分析可知，g（a）=f（1）=1+ln（1a）（a2）四.请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑（选修4-1几何证明选讲）22如图ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E（）证明：ABEADC；（）若BC为ABC外接圆的直径且ADAE=2，求ABC的面积【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【分析】（）推导出BAE=CAD，AEB=ACD，由此能证明ABEADC（）由ABEADC，得ABAC=ADAE=2，再由又BC为直径，能求出ABC的面积【解答】证明：（
31、）ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，BAE=CAD，AEB与ACD是同弧上的圆周角，AEB=ACD，ABEADC解：（）由（）知ABEADC，即ABAC=ADAE=2，又BC为直径，BAC=90，（选修4-4坐标系与参数方程选讲）23已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为常数）（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【考点】圆的参数方程；直线的参数方程【分析】（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点dr即可求出【解答】解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得
32、2xy2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=直线L与圆C有公共点，d4，即4，解得2a2（选修4-5不等式选讲）24设函数f（x）=|x+1|+|x5|，xR（1）求不等式f（x）x+10的解集；（2）如果关于x的不等式f（x）a（x2）2在R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】带绝对值的函数【分析】（1）去掉绝对值，化简f（x），求出不等式f（x）x+10的解集；（2）设g（x）=a（x2）2，求出g（x）max与f（x）min；由f（x）g（x）在R上恒成立，得f（x）ming（x）max，求出a的取值范围【解答】解：（1）去掉绝对值，；当x1时，由2x+4x+10，解得x2，2x1；当1x5时，由6x+10，解得x4，1x5；当x5时，由2x4x+10，解得x14，5x14；综上，不等式的解集为（2，14）；（2）设g（x）=a（x2）2，则g（x）max=g（2）=a，而f（x）=|x+1|+|x5|（x+1）（x5）|=6，即f（x）min=6；f（x）g（x）在R上恒成立时，应满足f（x）ming（x）max，a6；即a的取值范围是a|a62016年7月30日高考资源网版权所有，侵权必究！
