1、3简谐运动的回复力和能量必备知识自主学习一、简谐运动的回复力【情境思考】如图所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，请思考：小球为什么会做往复运动？这个力有什么特点？提示：小球受弹簧的弹力，由于惯性做往复运动；这个力总指向平衡位置，大小在不断变化。1回复力(1)定义：振动质点受到的总能使其回到_的力。(2)方向：指向_。(3)表达式：_。2简谐运动的动力学定义 如果质点所受的力与它偏离_位移的大小成_，并且总是指向 _，质点的运动就是简谐运动。3质点做简谐运动的条件 物体受回复力F的大小跟位移x的大小成_，方向跟位移方向_。平衡位置 平衡位置 Fkx 平衡位置 正比 平衡位置 正比 相反 二、简谐
2、运动的能量 1理论上可以证明，如果不考虑摩擦等阻力造成的损耗，在弹簧振子振动的 任意位置，系统的动能和势能之和是_，即简谐运动的能量是_。一旦供给系统一定的能量，使它开始振动，它就以一定的振幅永不停息地持续 振动。简谐运动是一种_的振动。2简谐运动中的能量跟_有关，_越大，振动的能量越大。将物体 释放后，若只有重力或弹簧的弹力做功，则振动物体在振动过程中，_能 和_能相互转化，总_不变。不变的 守恒的 能量守恒 振幅 振幅 动 势 机械能【易错辨析】(1)回复力的方向总是与速度的方向相反。()(2)回复力的方向总是与加速度的方向相反。()(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量
3、一定为零。()(4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减 小。()(5)简谐运动是一种理想化的振动。()(6)弹簧振子位移最大时，势能也最大。()关键能力合作学习知识点一 对回复力和加速度的理解 1对回复力的理解(1)回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，它可以是物体所受的合外力，也可以是一个力或某一个力的分力，而不是一种新的性质力。(2)简谐运动的回复力：Fkx。k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。“”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反。x是指物体对平衡位置的位移，不一定是弹簧的伸长
4、量或压缩量。回复力的作用总是把物体拉向平衡位置。2简谐运动的加速度据牛顿第二定律，aFm km x，表明简谐运动的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。【问题探究】如图所示，轻质弹簧下挂一质量为m的小球，小球静止，先用外力将小球向下拉一段距离，然后释放，则小球在运动过程中受力有何特点？小球的运动是间歇运动吗？提示：在忽略空气阻力的情况下，小球受重力和弹簧的弹力，二者的合力大小不断变化，方向始终指向平衡位置；在忽略空气阻力的前提下，小球的运动可看成简谐运动。【典例示范】【典例】(多选)如图所示，物体系在两弹簧之间，弹簧劲度系数分别为k1和k2，且k1k，k22k，两弹簧均处于自
5、然状态。现在向右拉动物体，然后释放，物体在B、C间振动，O为平衡位置(不计阻力)，设向右为正方向，物体相对O点的位移为x，则下列判断正确的是()A物体做简谐运动，OCOB B物体做简谐运动，OCOBC物体所受合力FkxD物体所受合力F3kx【解题探究】(1)物体在运动过程中，受弹簧的弹力如何变化？方向有何关系？提示：振动物体在水平方向受两弹簧的弹力，且两弹力大小要增大都增大，要减小都减小，其方向相同。(2)如何计算某一时刻物体所受合力？提示：先受力分析，然后结合胡克定律求得合力。【解析】选A、D。物体的位移为x，则物体所受的合力Fk1xk2x(k2k1)x3kx，D正确，C错误；可见物体做的是
6、简谐运动，由简谐运动的对称性可得OCOB，A正确，B错误。判断一个振动为简谐运动的方法(1)通过对位移的分析，列出位移时间表达式，利用位移时间图像是否满足正弦规律来判断。(2)对物体进行受力分析，求解物体所受力在振动方向上的合力，利用物体所受到的回复力是否满足 Fkx 进行判断。(3)根据运动学知识，分析求解振动物体的加速度，利用简谐运动的运动学特征 akm x 进行判断。1(母题追问)在上例情景中，设物体运动的振幅为 A，则：(1)证明：物体做简谐运动。(2)设物体质量为 m，求物体运动至 OB 中点时的加速度。【解析】(1)证明：物体的位移为 x，则物体所受的合力 Fk1xk2x(k2k1
7、)x3kx，令 k3k，则物体所受的合力 Fkx，故物体做的是简谐运动。(2)当物体运动至 OB 中点时，物体所受合力 FkA2，故由牛顿第二定律知，此时物体的加速度 aFm kA2m，方向：水平向右。答案：见解析 2.(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的 A、B 之间做往复运动，下列说法正确的是()A弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用B弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用C振子由 A 向 O 运动过程中，回复力逐渐增大D振子由 O 向 B 运动过程中，回复力的方向指向平衡位置【解析】选 A、D。回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的具体的
8、力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力充当回复力，故 A 正确，B 错误；回复力与位移的大小成正比，由 A 向 O 运动过程中位移的大小在减小，故此过程回复力逐渐减小，C 错误；回复力总是指向平衡位置，故 D 正确。知识点二 简谐运动的规律与能量角度 1 简谐运动中各物理量的变化规律1根据水平弹簧振子图，可分析各个物理量的变化关系如表所示：振子的运动AOOAAOOA位移向右减小向左增大向左减小向右增大回复力向左减小向右增大向右减小向左增大速度向左增大向左减小向右增大向右减小动能增大减小增大减小势能减小增大减小增大系统总能量不变不变不变不变特别提醒：在最大位移处，振子的位移、
9、加速度、势能最大；在平衡位置，速度、动能最大。2各个物理量对应关系不同：位置不同，位移不同，加速度、回复力不同，但是速度、动能、势能可能相同，也可能不同。特征公式表达物理含义动力学特征Fkx回复力是根据效果命名的力，不是独立性质的力，它由物体所受力在振动方向上的合力提供 特征公式表达物理含义运动学特征akm x简谐运动是一个加速度时刻变化的变加速运动能量特征EkEp恒量振动系统的动能和势能相互转化，总量保持不变 如图所示为一弹簧振子的振动图像，在 A、B、C、D、E、F 各时刻中，哪些时刻振子有相同速度？哪些时刻振子有最大动能？哪些时刻振子有相同的最大加速度？哪些时刻振子有最大势能？提示：由题
10、图知，在 A、B、C、D、E、F 各时刻中，A、C、E 时刻振子速度相等且为零。B、D 两时刻的速度大小相等，方向相反，B、F 两时刻的速度大小相等、方向相同，故 A、C、E 时刻振子速度相同，B、F 振子速度相同；由于振子动能只与其速度大小有关，故振子动能最大的时刻为：B、D、F；A、C、E 三个时刻，振子处于最大位移处，所受回复力最大，加速度最大，但 C 时刻的加速度方向与 A、E 两时刻相反，故振子具有相同的最大加速度的时刻为 A、E，又由于势能是标量，只与位移大小有关，故振子具有最大势能的时刻为：A、C、E。【典例 1】一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示。(1)求t0.251
11、02 s时的位移；(2)在t1.5102 s到2102 s的振动过程中，质点的位移、速度、回复力及加速度如何变化？(3)在t8.0102 s到8.5102 s时间内，质点的动能、势能及机械能如何变化？【审题关键】序号解题依据信息提取由题意得出简谐运动的表达式，再结合题图tT8由题图直接得出t3T4T由题图得出周期再结合题目条件t4T414 T【解析】(1)由题图可知 A2 cm，T2102 s，振动方程为 xA sin(t2)A cos 2T t2cos 22102 t 2cos100t，当 t0.25102 s 时，x2cos4 cm 2 cm。(2)由题图可知在 1.51022102 s
12、内，质点正从平衡位置向负向最大位移处运动，可知质点的位移变大，速度变小，由 Fkx 知回复力变大，又由 aFm km x 知质点加速度变大。(3)根据简谐运动的周期性，质点在 8102 s 到 8.5102 s 时间内的运动情况和 0到 0.5102 s 时间内的运动情况一致。可知质点速度增大、动能增大、势能减小，但机械能不变。答案：(1)2 cm(2)变大 变小 变大 变大(3)变大 变小 不变 角度 2 简谐运动的特征与能量1简谐运动的三大特征(1)瞬时性：做简谐运动的物体在不同时刻运动到不同的位置，对应不同的位移，由 Fkx 可知回复力不同。由牛顿第二定律得 akm x，可知加速度 a
13、也不相同，也就是说 a、F、x 具有瞬时对应性。(2)对称性：物体通过关于平衡位置对称的两点时，加速度(回复力)大小相等，速度大小相等，动能相等，势能相等。对称性还表现在时间的相等上，如从某点到达最大位置和从最大位置再到该点所需要的时间相等。质点从某点向平衡位置运动时，到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。(3)周期性：简谐运动是一种往复的周期性运动，按其周期性可做如下判断：若 t2t1nT，则 t1、t2 两时刻振动物体在同一位置，运动情况完全相同。若 t2t1nTT2，则 t1、t2 两时刻描述运动的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均为零)。2
14、对简谐运动能量的三点认识(1)决定因素：对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。(2)能量获得：系统开始振动的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。(3)能量转化：当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。如图所示，蹦极是一种惊险刺激的运动，备受一些年轻人的推崇，若忽略空气阻力及橡皮绳的重力，人在上下运动过程中，人和橡皮绳的能量变化有何特点？提示：在上下运动中，人和橡皮绳组成的系统，动能增加时，势能减少，动能减少时，势能增加，动能和势能相互转化，但动能和势能的总合不变。【典例 2】(多选)如图所示，一弹簧振子在
15、 A、B 间做简谐运动，平衡位置为 O，已知振子的质量为 M。则振子在振动过程中，下列说法中正确的是()A.振子在平衡位置，动能最大，势能最小B振子在最大位移处，势能最大，动能最小C振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小D在任意时刻，动能与势能之和保持不变【解析】选 A、B、D。振子在平衡位置两侧往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以 B 正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，D 正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以 A 正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以 C 错误。故选 A、B、D。有关简谐运动的两
16、点提醒(1)最大位移处、平衡位置处物理量的大小：简谐运动中的最大位移处，F、a、Ep最大，Ek0；在平衡位置，F0，a0，x0，Ep0，而 Ek 最大。(2)竖直弹簧振子的能量组成：对竖直弹簧振子来说，振动能量包含动能、弹性势能、重力势能。1(母题追问)(多选)在上述例题情境中，若振子运动到 B 处时将一质量为 m 的物体放到 M 的上面，m 与 M 无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是()A振幅不变 B振幅减小C最大动能不变D最大动能减小【解析】选 A、C。振子运动到 B 点时速度恰为零，此时放上 m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，因此
17、 A 正确，B 错误；由于机械能守恒，最大动能不变，所以 C 正确，D 错误。2.把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 O 在 A、B 间振动，如图所示，下列结论正确的是()A小球在 O 位置时，动能最大，加速度最小B小球在 A、B 位置时，动能最大，加速度最大C小球从 A 经 O 到 B 的过程中，回复力一直做正功D小球从 B 到 O 的过程中，振子振动的能量不断增加【解析】选 A。小球在平衡位置 O 时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A 项正确；在最大位移 A、B 处，动能为零，加速度最大，B 项错
18、误；由 A 到 O，回复力做正功，由 O 到 B，回复力做负功，C 项错误；由 B 到 O，动能增加，弹性势能减小，总能量不变，D 项错误。【加固训练】某弹簧振子如图所示，其中 A、B 均为振子偏离平衡位置的最大位移处，O 为平衡位置。在振子由 O 向 B 运动的过程中，下列说法正确的是()A.振子偏离平衡位置的位移方向向右B振子偏离平衡位置的位移正在增大C弹簧的弹性势能正在减小D振子的速度正在增大【解析】选 B。振子由 O 向 B 运动的过程中，振子偏离平衡位置的位移方向向左，且正在增大，故 A 错误，B 正确；弹力和运动方向相反，所以弹力做负功，则速度正在减小，根据能量守恒定律可知弹性势能
19、正在增大，故 C、D 错误。【拓展例题】考查内容：水平弹簧振子中的能量问题【典例】(多选)关于水平的弹簧振子做简谐运动时的能量，下列说法正确的有()A等于在平衡位置时振子的动能B等于在最大位移时弹簧的弹性势能C等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和D位移越大振动能量也越大【解析】选 A、B、C。由于弹簧振子在运动过程中动能和势能的总和不变，平衡位置的弹性势能为零，最大位移处速度为零、动能为零，所以总能量就等于平衡位置的动能，或其在最大位移处弹簧的弹性势能，还等于任意时刻振子动能与弹簧弹性势能之和，故 A、B、C 均正确；D 错误。情境模型素养 各种造型的不倒翁十分有趣，深受小朋友的喜爱，给不倒
20、翁一个水平力，松手后不倒翁就会左右摇摆起来，但却不会倒下。探究：(1)不倒翁的运动有什么特点？是简谐运动吗？(2)不倒翁在摇摆过程中有怎样的能量转化过程？【解析】(1)在做机械振动，若忽略空气阻力，可认为是简谐运动。(2)不倒翁越靠近竖直位置，重心越低，重力势能越小，动能越大。重力势能转化为动能；反之，越偏离竖直位置，重心越高，动能越小，重力势能越大，动能转化为重力势能。若忽略空气阻力，不倒翁将做等幅摆动，动能和势能之和不变。如图所示为一种用沙摆演示简谐运动的装置，木板上出现了如图所示形状的沙堆。探究：(1)沙堆形状说明了沙摆和木板各做什么运动？(2)沙堆的形状反映了沙摆在摆动过程中能量怎样转
21、化？【解析】(1)沙粒没有在木板上形成正弦曲线的形状说明木板没有运动，沙摆做往复运动。(2)沙堆的形状为中间低、两侧高，说明沙摆越靠近最低点速度越大，动能越大，势能越小；越远离最低点，沙摆的速度越小，动能越小，势能越大，动能和势能相互转化。1(教材二次开发P43【练习与应用】T4 变式题)(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A.物体在 0.2 s 时刻与 0.4 s 时刻的速度相同B物体在 0.6 s 时刻与 0.4 s 时刻的动能相同C0.70.9 s 时间内物体的加速度在减小D0.91.1 s 时间内物体的势能在增加 课堂检测素养达标【解析】选 A、B。由简谐运
22、动的对称性可知，物体在 0.2 s 时刻与 0.4 s 时刻速度相同，A 正确；物体在 0.6 s 时刻与 0.4 s 时刻速度大小相等，方向相反，但动能相同，B 正确；0.70.9 s 时间内，物体远离平衡位置，位移增大，加速度增大，C 错误；0.91.1 s 时间内动能增大，势能减小，D 错误。【加固训练】如图是弹簧振子做简谐运动的振动图像，可以判定()A.从 t1 到 t2 时间内系统的动能不断增大，势能不断减小B从 t2 到 t3 时间内振幅不断增大Ct3 时刻振子处于平衡位置处，振子机械能最大Dt1、t4 时刻振子的动能、速度都相同【解析】选 A。t1 到 t2 时间内，x 减小，弹
23、力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A 正确；振幅是离开平衡位置的最大距离，简谐运动的振幅保持不变，从 t2 到 t3，变化的是位移而不是振幅，B 错误；振子做简谐运动的机械能守恒，各时刻的机械能都相等，故 C 错误；t1、t4 时刻位移相同，即振子处于同一位置，但运动方向相反，速度等大反向，动能相同，D 错误。2(多选)物体做简谐运动时，下列叙述正确的是()A平衡位置就是回复力为零的位置B处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态C物体到达平衡位置，合力一定为零D物体到达平衡位置，回复力一定为零【解析】选 A、D。平衡位置是回复力等于零的位置，但在平衡位置物体所受合力不一定为零，物体也就不
24、一定处于平衡状态，故 A、D 正确，B、C 错误。3弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中()A振子所受的回复力逐渐增大B振子相对平衡位置的位移逐渐增大C振子的速度逐渐增大D振子的加速度逐渐增大【解析】选 C。在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子相对平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项 C 正确。4.如图所示为一水平弹簧振子的振动图像，由图可知()A在 t1 时刻，振子的动能最大，所受的弹力最大B在 t2 时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小C在 t3 时刻，振子的动能最大，所受的弹力最小D在 t4 时刻，
25、振子的动能最大，所受的弹力最大【解析】选 B。t2 和 t4 是在平衡位置处，t1 和 t3 是在最大位移处，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹力为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大，即弹力为最大，所以 B 项正确。【加固训练】如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是()A在第 1 s 内，质点速度逐渐增大B在第 1 s 内，质点加速度逐渐减小C在第 1 s 内，质点的回复力逐渐减小D在第 4 s 内，质点的动能逐渐增大，势能逐渐减小，机械能保持不变【解析】选 D。在第 1 s 内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回
26、复力和加速度都增大，故 A、B、C 均错误；在第 4 s 内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，故 D 正确。5.如图所示，质量为 3m 的框架放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为 m 的金属小球，小球上下振动。当小球运动到最低点时，台秤的示数为 5mg。求：(1)小球运动到最高点时，小球的瞬时加速度大小为多少？(2)此时台秤的示数为多少？【解析】(1)当小球运动到最低点时，台秤示数为 5mg，即框架对台秤的压力大小为 5mg，由牛顿第三定律知，台秤对框架的支持力为FN5mg；设最低点时小球的加速度大小为 a，弹簧的弹力为 F，此时框架的加速度大小为零，则对框架分析得 F3mgFN，解得 F2mg，对小球应用牛顿第二定律得 F 合Fmgmg，又 F 合ma，解得 ag。(2)由弹簧振子的对称性可知，小球运动到最高点时，小球加速度的大小也为 g，方向竖直向下。所以此时弹簧处于原长，对框架没有作用力，台秤的示数为框架的重力，即为 3mg。答案：(1)g(2)3mg
