1、浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考数学试题一、单选题（共10题；共40分）1.设集合 U=-2,-1,0,1 ， A=x|x20 ， a1 ），则 y=f(|x|-1) 的图象可能是（ ） A.B.C.D.6.若 a,bR ，则“ a+|b|1 ”是“ |a|+|b|1 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知 (4,2) ， sin(+4)=63 ，则 tan= （ ） A.3-22B.3+22C.24D.68.已知等比数列 an 前 n 项和 Sn 满足 Sn=1-A3n+1 （ AR ），数列 bn 是递增的
2、，且 bn=An2+Bn ，则实数 B 的取值范围为（ ） A.-23,+)B.-1,+)C.(-1,+)D.(-13,+)9.已知平面向量 a ， b ， c ，满足 |a|=ab=2 ， |a+b|a-12b| 对任意实数 恒成立， (a-c)(b-2c)=1 ，则 |b-c| 的最大值为（ ） A.3+12B.5+32C.7+32D.7+5210.已知方程 xekx=1 有两个不同的实数根 x1 ， x2 （ x1e2B.x1+x22eC.x1-ke+1e二、填空题（共7题；共36分）11.设复数 z 满足 (1-i)z=1+2i （ i 是虚数单位），则 |z|= _， z 的虚部为_
3、 12.已知 (1+x)+(1+x)2+(1+x)n=a0+a1x+anxn ，若 a1+a2+an-1=1021-n ，则 n= _， a7= _ 13.在 ABC 中，已知角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 b2+c2-a2=bc ，则 A= _；若 a=2 ，则 ABC 面积的最大值为_ 14.袋中装有质地，大小相同的5个红球， m 个白球，现从中任取2个球，若取出的两球都是红球的概率为 514 ，则 m= _；记取出的红球个数为 X ，则 E(X)= _ 15.已知 a0 ， b0 ，且 a+b=1 ，则 1a+2b-3ab 的最大值是_ 16.已知抛物线
4、 y2=4x ，过点 N(2,0) 的直线交抛物线于 A ， B 两点， |AN|BN|=2 ，则线段 AB 长为_ 17.如图，在矩形 ABCD 中， AB=a ， BC=2a ，点 E 为 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 翻折到 ABE 的位置，在翻折过程中， A 不在平面 BCDE 内时，记二面角 A-DC-B 的平面角为 ，则当 最大时， cos 的值为_ 三、解答题（共5题；共74分）18.已知函数 f(x)=cos2(x+2)-cos2(x+3) ， xR （1）求 f(x) 的单调递减区间； （2）若 0, ， f()=-34 ，求 的值 19.如图，菱形 ABCD 与正三角
5、形 DEF 所在平面互相垂直， BCD=60 ， E ， G 分别是线段 AB ， CF 的中点 （1）求证： BG/ 平面 DEF ； （2）求直线 BC 与平面 DEG 所成角的正弦值 20.设正项数列 an 的前 n 项之和 bn=a1+a2+an ，数列 bn 的前 n 项之积 cn=b1b2bn ，且 bn+cn=1 （1）求证： 1cn 为等差数列，并分别求 an 、 bn 的通项公式； （2）设数列 anbn+1 的前 n 项和为 Sn ，不等式 Sn1+-3 对任意正整数 n 恒成立，求正实数 的取值范围 21.如图， A ， B 为椭圆 x24+y2=1 的左右顶点，直线 y
6、=kx+m 交椭圆于 C ， D 两点，直线 AC 的斜率是直线 BD 的斜率3倍 （1）若 P 为椭圆上异于 A ， B 的一点，证明：直线 PA 和 PB 的斜率之积为常数； （2）证明：直线 CD 过定点 22.已知函数 f(x)=|x+a|+|x+b| （ a,bR ） （1）若 a=1 ， b=-1 ，求 y=f(x) 的值域； （2）若 b=0 ，当 x0,4 时， f(x) 的最大值为 258 ，求 a 的值； （3）当 x0,4 时，记 f(x) 最大值为 M(a,b) ，求证：当 a2+b212 时， 3M(a,b)7 答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.设集合
7、U=-2,-1,0,1 ， A=x|x20 ， a1 ），则 y=f(|x|-1) 的图象可能是（ ） A.B.C.D.【答案】 B 【考点】函数的图象 【解析】【解答】由题意， y=g(x)=f(|x|-1)=loga(|x|-1) ， g(-x)=loga(|-x|-1)=g(x) ，即 g(x) 为偶函数，排除A、D；当 x=3 时， y=g(3)=loga(|3|-1)=loga2 ，当 x=32 时， y=g(32)=loga(|32|-1)=-loga2 ， x=3 、 x=32 对应函数值异号，排除C；故答案为：B 【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=
8、f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于y轴对称由此排除A、D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项C，由此得到答案。 6.若 a,bR ，则“ a+|b|1 ”是“ |a|+|b|1 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，不等式的基本性质 【解析】【解答】若 a+|b|1 ，因为 |a|a ，所以 |a|+|b|a+|b|1 ，即 |a|+|b|1 成立； 反过来，若 |a|+|b|1 ，取 a=-1,b=0 ，满足 |a|+|b|1 ，但此时 a+|b|=-1
9、 ，即 a+|b|1 不成立.所以“ a+|b|1 ”是“ |a|+|b|1 ”的充分不必要条件.故答案为：A. 【分析】首先由绝对值不等式的性质利用特殊值法，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。7.已知 (4,2) ， sin(+4)=63 ，则 tan= （ ） A.3-22B.3+22C.24D.6【答案】 B 【考点】两角和与差的正切公式，同角三角函数间的基本关系 【解析】【解答】因为 (4,2) ，所以 +4(2,34) ， 又因为 sin(+4)=63 ，所以 cos(+4)=-33 ，则 tan(+4)=-2 ， 所以 tan=tan(+4)-4 ，=tan(+4)-tan41
10、+tan(+4)tan4 ，=-2-11-2=3+22 ，故答案为：B 【分析】首先由角的取值范围得出+4(2,34) ， 然后由同角三角函数的基本关系式计算出tan(+4)=-2 ， 再由两角和的正切公式代入数值计算出结果即可。8.已知等比数列 an 前 n 项和 Sn 满足 Sn=1-A3n+1 （ AR ），数列 bn 是递增的，且 bn=An2+Bn ，则实数 B 的取值范围为（ ） A.-23,+)B.-1,+)C.(-1,+)D.(-13,+)【答案】 C 【考点】数列的函数特性，等比数列的性质 【解析】【解答】解：因为等比数列 an 前 n 项和 Sn 满足 Sn=1-A3n+1
11、 （ AR ）， 所以 a1=S1=1-9A ，a2=S2-S1=(1-27A)-(1-9A)=-18A ，a3=S3-S2=(1-81A)-(1-27A)=-54A ，因为等比数列 an 中 a22=a1a3 ，所以 (-18A)2=(1-9A)(-54A) ，解得 A=13 或 A=0 （舍去），所以 bn=13n2+Bn ，因为数列 bn 是递增的，所以 bn+1-bn=13(n+1)2+B(n+1)-13n2-Bn0 ，所以 B-23n-13 ，因为 nN* ，所以 B-1 ，故答案为：C 【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，结合等比数列的性
12、质即可得出bn=13n2+Bn ， 从而得出数列的单调性，由此得出bn+1-bn=13(n+1)2+B(n+1)-13n2-Bn0即B-23n-13 ， 进而得出答案。9.已知平面向量 a ， b ， c ，满足 |a|=ab=2 ， |a+b|a-12b| 对任意实数 恒成立， (a-c)(b-2c)=1 ，则 |b-c| 的最大值为（ ） A.3+12B.5+32C.7+32D.7+52【答案】 D 【考点】两向量的和或差的模的最值，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式 【解析】【解答】解：由 |a+b|a-12b| ， 得 |a|2+2ab+|b|22-|a|2+ab-14|b|20 ，
13、即 b22+4-14b2+20 ，因为 |a+b|a-12b| 对任意实数 恒成立，所以 =16-4b2(-14b2+2)0 ，解得 (b2-4)20 ，所以 b2-4=0 即 |b|=2 ，由 |a|=ab=2 ，可设 a=(2,0),b=(1,3),c=(x,y) ，则 a-c=(2-x,-y) ， b-2c=(1-2x,3-2y) ，因为 (a-c)(b-2c)=1 ，所以 2+2x2-5x-3y+2y2=1 ，即 (x-54)2+(y-34)2=54 ，所以向量 c=(x,y) 对应点的坐标的轨迹方程是以 (54,34) 为圆心， 52 为半径的圆，|b-c|=(1-x)2+(3-y)
14、2 ，可以看成 (1,3) 和 (x,y) 两点之间的距离，将 (1,3) 代入 (x-54)2+(y-34)2=54 ，得 (1,3) 在圆内，圆心 (54,34) 到点 (1,3) 的距离为 (54-1)2+(34-3)2=72 ，所以 |b-c| 的最大值为 7+52 .故答案为：D. 【分析】根据题意整理化简原式由此得到|b|=2 ， 再由已知条件结合向量的坐标公式整理得出a-c=(2-x,-y) ， b-2c=(1-2x,3-2y) ， 由一直听结合数量积的坐标公式整理得到向量 c=(x,y) 对应点的坐标的轨迹方程是以 (54,34) 为圆心， 52 为半径的圆，然后由向量模的公式
15、以及两点间的距离公式整理得出答案即可。10.已知方程 xekx=1 有两个不同的实数根 x1 ， x2 （ x1e2B.x1+x22eC.x1-ke+1e【答案】 D 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由题意， k=-lnx2x ，即 y=k 与 f(x)=-lnx2x 在 (0,+) 上有两个交点且横坐标分别为 x1 ， x2 （ x1x2 ）， f(x)=lnx-12x2 ，而 f(e)=0 ，当 0xe 时， f(x)e 时， f(x)0 ， f(x) 单调递增； f(x) 的极小值也是最小值为 f(e)=-12e ，而 f(1)=0 ， limx0+f
16、(x)=+ ， limx+f(x)=0 ，要使题设成立，则 -12ek0 且 1x1ex2 有 f(x1)=f(x2)=k .令 1e-x0e ， f(e+x0)-f(e-x0)=ln(e-x0)2(e-x0)-ln(e+x0)2(e+x0)=(e+x0)ln(e-x0)-(e-x0)ln(e+x0)2(e2-x02) ，若 g(x0)=(e+x0)ln(e-x0)-(e-x0)ln(e+x0) 且 0x0e-1 ， g(x0)=ln(e-x0)-e+x0e-x0+ln(e+x0)-e-x0e+x0=ln(e2-x02)-2(e2+x02)e2-x02 12e-1e2-x02e2 ， e2e2
17、+x022e2-2e+1 ， g(x0)lne2-2e2e2=2-2=0 ，即 g(x0) 在 0x0e-1 上单调递减， g(x0)g(0)=elne-elne=0 ， f(e+x0)e 时 f(x) 单调递增，故在 e+x0 右侧存在 x2 ，使 f(x2)=f(e-x0) ，即 x2e+x0 ，若 e-x0=x1 ， x1+x2e+x0+e-x0=2e ，且 x1x2e2-x02 恒成立，即 x1x2e2 ，A、B符合题意；令 h(x)=x+lnx2x 且 x(1,+) ，则 h(x)=1+1-lnx2x2 ，即 h(x)=2lnx-32x3 ， 1xe32 ， h(x)e32 ， h(
18、x)0 ， h(x) 递增； h(x)h(e32)=1-14e30 ，故 h(x) 单调递增， h(x1)h(e)h(x2) ，即 x1-ke+12e0) ， m=3 ，由 X=0,1,2 ，则 P(X=0)=C50C32C82=328 ， P(X=1)=C51C31C82=1528 ， P(X=2)=C52C30C82=514 ， E(X)=0P(X=0)+1P(X=)1+2P(X=2)=0+1528+57=54 .故答案为： 3 ， 54 . 【分析】由已知条件集合组合公式整理得到关于m的方程求解出m的值，再由题意即可得出X的取值，结合概率公式计算出对应的X的概率值，并把数值代入到期望公式
19、计算出结果即可。15.已知 a0 ， b0 ，且 a+b=1 ，则 1a+2b-3ab 的最大值是_ 【答案】32【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：因为 a0 ， b0 ，且 a+b=1 ，所以 a(0,1),b(0,1) ， 1a+2b-3ab=11+b-3ab=11+(1-a)(1-3a)=13a2-4a+2 ，当 a=23 时， 3a2-4a+2 取最小值 23 ，所以 13a2-4a+2 取最大值 32 ，故 1a+2b-3ab 的最大值是 32 .故答案为： 32 . 【分析】首先根据题意整理化简原式再由基本不等式计算出最值即可。16.已知抛物线 y2=4x
20、，过点 N(2,0) 的直线交抛物线于 A ， B 两点， |AN|BN|=2 ，则线段 AB 长为_ 【答案】35【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质 【解析】【解答】设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，不妨设 y10,y21+-3 对任意正整数 n 恒成立，求正实数 的取值范围 【答案】 （1）解：由题意知：当 n2 时， bn=cncn-1 ，代入 bn+cn=1 得： cncn-1+cn=1 ， 所以 1cn-1cn-1=1由 b1=c1b1+c1=1 得： b1=c1=12 ，所以 1cn 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 1cn=n+1 ， cn=1n+1 ， bn=
21、1-cn=nn+1当 n2 时， an=bn-bn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1)当 n=1 时， a1=b1=12 也符号上式，所以 an=1n(n+1)（2）由（1）得： anbn+1=nn(n+1)n+1n+2=1n(n+2)所以 Sn=113+124+135+1(n-1)(n+1)+1n(n+2)=12(1-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2)=34-12(1n+1+1n+2)显然 Sn 单调递增，所以 SnS1=13由题意得： 1+-313 ，即 1+0 ，所以 的取值范围为 133 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的前n项和，数列的求和 【
22、解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合数列的递推公式，整理即可得出数列1cn为等差数列，结合等差数列的通项公式即可得出cn=1n+1即bn=1-cn=nn+1 ， 从而整理得到数列an、bn的通项公式。 (2)由(1) 的结论整理即可得出anbn+1=nn(n+1)n+1n+2=1n(n+2) ， 再由裂项相消法整理即可得出Sn=34-12(1n+1+1n+2) ， 结合函数的性质即可得出Sn的单调性，由此得到SnS1=13。即1+-31 时， f(x)=x+x2 ，综上， f(x)74,+) （2）若 b=0 ， f(x)=|x+a|+x ， 当 a0 时， f(x)=x+x+a 在 x
23、0,4 单调递增，则 f(x) 的最大值为 f(4)=6+a=258 ，无解，舍；当 -4a0 ， f(x)=|x+a|+x=max|x+a+x|,|x+a-x| ，故 f(x) 的最大值为 max|a|,|6+a|,|a+2|,|a-14|=258 得 a=-238 当 a-4 ， f(x)=x-x-a14-a ，则 14-a=258 ，得 a=-238 ，舍；综上， a=-238 （3）f(x)=|x+a|+|x+b|=max|x+x+a+b|,|x-x+a-b| ， 此时 M(a,b)=f(x)max=max|a+b|,|a+b+6|,|a-b+2|,|a-b-14| 又因为 a2+b2
24、12 ， (ab)22a2+b212 ，得出 |ab|1 ，所以 M(a,b)=f(x)max=|a+b+6| ，因为 -1a+b1 ，所以 5|a+b+6|7所以 3M(a,b)7 【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数的最值及其几何意义，不等式 【解析】【分析】(1)根据题意化简函数的解析式，对x分情况讨论即可得出不同情况下函数的解析式，结合函数的正弦即可得出函数的值域。 (2)由已知条件把b的值代入求出f(x)=|x+a|+x ， 再由a的取值范围结合函数的单调性即可求出f(x)的最大值，从而求出a的值。 (3)由绝对值的几何意义，即可求出不等式的最大值，然后转化为M(a,b)=f(x)max=|a+b+6|集合已知条件即可得证出结论。
