1、新课程标准解读核心素养1.能利用计数原理证明二项式定理，理解二项式定理及二项展开式的特征，能记住二项式定理和二项展开式的通项公式.2.能正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，并能运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数.3.能用二项式定理求解三项或三项以上的展开问题，能解决两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题.1.数学抽象：二项式定理.2.数学运算：二项式定理的应用.新课引入 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利率9，按复利计算，10年后收回本金和利息。试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约可多得
2、利息多少元？分析：本金10万元，年利率11，按单利计算，10年后的本利和是10(11110)21(万元);本金10万元，年利率9，按复利计算，10年后的本利和是10(19)10;那么如何计算(19)10 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？探究点1 多项式的乘法规律(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b2 2次的展开后有3项，3次的展开后有4项，那么4次的展开后有5项吗？2次的展开后各项系数是1,2,1，3次的展开后各项系数是1,3,3,1，它们与组合数有什么联系？(a+b)4
3、=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b25项121C2 1C2 0C2 21313C3 0C3 1C3 2C3 341146C4 0C4 1 C4 2C4 3C4 4你能猜想(a+b)n 的展开式吗？(a+b)n=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)n项：anan-1b an-kbk bn系数：Cn0Cn1CnkCnn 分析：an-kbk于 是 有a24，abb6，解 得a2，b2或a2，b6，k个(a+b)中选bn-k个(a+b)中选a二项式定理C0nanC1nan1b1C2nan2b2CknankbkCnnbn(a+b)n=(1)这个公式叫
4、做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n+1项(3)二项式系数：各项的系数(k0,1,2，n)叫做二项式系数Ckn字母a按降幂排列，次数由n递减到0,字母b按升幂排列，次数由0递增到n.(4)次数(5)二项展开式的通项:Tk1an-kbkCkn二项式系数和系数有何区别？(1)二项展开式中的二项式系数是指 C0n，C1n，C nn这些组合数，与a，b无关(2)展开式中项的系数则是展开式中关于某一个(或两个)字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n 的展开式中共有 n 项()(2)在公式中，交
5、换 a，b 的顺序对各项没有影响()(3)Cknankbk 是(ab)n 展开式中的第 k 项()(4)(ab)n 与(ab)n 的展开式的二项式系数相同()2(1x)10 展开式中 x3 项的系数为()A720B720C120D120Tk1an-kbkCknC10 k 110-k(-x)kk=3,-C10 33C0n2nC1n2n1Ckn2nkC nn等于()A2nB2n1C3nD1原式(21)n3n.4(12x)5的展开式的第3项的系数为_，第3项的二项式系数为_ T3C25(2x)2C2522x240 x2，40C2510类型1 二项式定理的正用和逆用 例 1(1)求(x 12 x)4
6、的展开式；(1)法一：(x 12 x)4C04(x)4C14(x)3 12 xC24(x)2(12 x)2C34 x(12 x)3C44(12 x)4 x22x32 12x 116x2.法二：(x 12 x)4 116x2(2x1)4 116x2(16x432x324x28x1)x22x32 12x 116x2.(2)化简：C0n(x1)nC1n(x1)n1C2n(x1)n2(1)kCkn(x1)nk(1)nCnn.(2)原式(x1)(1)nxn.二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(ab)n 展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2
7、)逆用：将展开式合并成二项式(ab)n 的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律+=Cn0Cn1Cn2CnkCnn2n1化简(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1的结果为()Ax4 B(x1)4C(x1)4Dx41(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1 C04(x1)4C14(x1)3(1)1C24(x1)2(1)2C34(x1)(1)3C44(x1)0(1)4(x1)14x4.2若(1 3)4ab 3(a，b 为有理数)，则 ab_因为(1 3)41C14(3)1C24(3)2C34(
8、3)3C44(3)414 31812 39 2816 3，所以a28，b16，所以ab281644.类型2 求展开式中特定的项 例 2 已知(x2x)n展开式中第 3 项的系数比第 2 项的系数大 162.(1)求 n 的值；(2)求展开式中含 x3 的项，并指出该项的二项式系数(1)因为 T3C2n(x)n2(2x)24C2nxn62，T2C1n(x)n1(2x)22C1nxn32，4C2n2C1n162，所以 2C2nC1n81，所以 n281，n9.(2)设第 r1 项含 x3 项，则 Tr1Cr9(x)9r(2x)r(2)rCr9x93r2，所以93r23，r1，T22C19x318x
9、3.二项式系数为 C199.1变设问在本例条件下，求二项展开式中的常数项 因为 Tr1(2)rCr9x93r2，若Tr1为常数项，则93r0，所以r3，因此常数项为第4项，即(2)3C39672.2变设问在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项因为 Tr1(2)rCr9x93r2，若Tr1为有理项，当且仅当93r2为整数因为0r9，rN，所以r1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们分别是 T218x3，T4672，T64 032x3，T84 608x6，T10512x9.2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；(2)对于有理项，
10、一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致类型3 二项式定理的灵活运用 例 3(1)(x2xy)5 的展开式中，x5y2 的系数为()A10 B20 C30 D60(1)(x2xy)5为 5 个 x2xy 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为 C25C23C1130.(2)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)(xy)(xy)8x(
11、xy)8y(xy)8，所以展开式中含有 x2y7 的项为xC78xy7yC68x2y620 x2y7，故 x2y7 的系数为20.1两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得2三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性(1)在(2x1)(xy)6 的展开式中，x3y3 的系数为()A50 B20 C15 D20(xy)6 的通项为 Cr6(1)r
12、x6ryr(0r6，rZ)，故(2x1)(xy)6的展开式中 x3y3 的系数为(1)C36(1)320.(2)(x22)(x1x)6的展开式中的常数项为_(x1x)6的通项为 Tr1 Cr6x6r(1x)r(1)rCr6x62r，62r0或者62r2所以r3或r4，常数项为(1)4C462(1)3C36 154025.1二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关2要牢记 Cknankbk 是展开式的第 k1 项，而非第 k 项3对于非二项式的展开式问题可借助其原理求解课堂小结 设(x 2)n(nN*)的展开式中第二项与第四项的系数之比为12，求含 x2的项由题设，得 T2C1n xn1(2)2 nxn1，T4C3n xn3(2)32 2 C3n xn3，于是有 2n2 2C3n12，化简得n23n40，解得n4或n1(舍去).(x 2)4 的展开式的通项为 Tk1(2)kCk4 x4k，令4k2，则k2，所以含 x2 的项为(2)2C24 x212x2.
