1、一元二次方程的解法3：1选择适当的方法解一元二次方程：（1）x2+2x15=0 （2）4x6=（32x）x2、按要求解一元二次方程：(1) x210x90(配方法) (2)x(x2)x20(因式分解法)3阅读下列材料：问题：已知方程x2+x1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，得（）2 +1=0化简，得y2+2y4=0，故所求方程为y2+2y4=0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x1=0，求一个
2、一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数4我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法请选择合适的方法解下列方程(1)x23x10； (2)(x1)23； (3)x23x0； (4)x22x4.5解一元二次方程x2-6x+3=0. 6解一元二次方程：x23x107按要求解一元二次方程（1）4x28x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式
3、法） （4）x22x8=08请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、一次项得一元二次方程，并求出它的解9解下列一元二次方程（1）x2+6x+5=0； （2）x2+x1=0（用配方法解） 10一元二次方程有一个根为2，写出这样的一个一元二次方程11解一元二次方程：2x2+4x+1=012解下列一元二次方程（1）x2+6x+5=0； （2）x2+x1=0（用配方法解）13解一元二次方程：（x-2）2=x-2 14解一元二次方程：x24x1=015解一元二次方程：3x2+2x5=016阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程其一般形式为ax4+bx2+c=0（a0），一般通过换
4、元法解之，具体解法是设 x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值例如解：4x48y2+3=0解：设x2=y，则原方程可化为：4y28y+3=0a=4，b=8，c=3b24ac=（8）2443=160y=y1=，y2=当y1=时，x2=x1=，x2=；当y1=时，x2=x3=，x4=小试牛刀：请你解双二次方程：x42x28=0归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （选出所有的正确答案）当b24ac0时，原方程一定有实数根；当b24ac0时，原方程一定没有实数根；当b24ac0，并且换元之后的一元二次方
5、程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；原方程无实数根时，一定有b24ac017用适当的方法解一元二次方程（1）x2+3x+1=0 （2）x210x+9=0（3）（2x1）2=（3x+2）2 （4）（x1）（x+2）=2（x+2）18用适当的方法解下列关于x的一元二次方程：（1）x2-6x+8=0 ； （2）x2-4ax-12a2=0；(3) (x3)2+2x(x3)0 ；(4)(2x+3)2=x219已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：（1）请解上述一元二次方程;（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,
6、写出一条即可答案详解：1（1）x1=5，x2=3；（2）x1=，x2=2试题分析：（1）利用因式分解法解方程；（2）先把方程变形得到2（2x3）+x（2x3）=0，然后利用因式分解法解方程试题解析：（1）（x+5）（x3）=0，x+5=0或x3=0，所以x1=5，x2=3；（2）2（2x3）+x（2x3）=0，（2x3）（2+x）=0，2x3=0或2+x=0，所以x1=，x2=22（1）x19 或x21；（2）x12或x21试题分析：1）首先将常数项移到等号的右侧，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，
7、两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解试题解析：(1) x210x90(配方法) (x5)216 x54 或x54x19 或x21 (2)x(x2)x20(因式分解法)(x2)(x1)0x20或x10x12或x21 3（1）y22y1=0；（2）所求方程为a+by+cy2=0（ c0）试题分析：(1)、互为相反数的两个数的和为原两数和的相反数，积不变，从而得出方程；(2)、设所求方程的根为y，则y=(x0),于是x=(y0)，然后将x=代入方程，从而得出所求的方程.试题解析：(1)、 y2-2y-1=0(2)、设所求方程的根为y，则y=(x0),于是x=(y0)把x=带入方程ax2
8、+bx+c=0, 得a ()2+b（）+c=0去分母，得 a+by+cy2=0若c=0，有ax2+bx=0 ,于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意 c0，故所求方程为：a+by+cy2=0 ( c0) .4方程(1)用公式法解：x1，x2.方程(2)用直接开平方法解：x11，x21.方程(3)用因式分解法解：x10，x23.方程(4)用配方法解：x11，x21.试题分析：（1）利用公式法即可解决问题；（2）直接开方法即可解决问题；（3）利用因式分解法即可解决问题；（4）利用配方法即可解决问题；试题解析：（1）x2-3x+1=0，a=1，b=-3，c=1，=9-4=5，x1=，x
9、2=（2）（x-1）2=3，x-1=，x1=1+，x2=1-（3）x2-3x=0，x（x-3）=0，x=0或x-3=0，x1=，0，x2=3（4）x2-2x=4，x2-2x+1=4+1，（x-1）2=5，x1=1+，x2=1-5试题分析：移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可试题解析：x26x=3，x26x+9=3+9，(x3)2=6，x3=，x1=3+x2=3.6 试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解试题解析：这里a=1，b=3，c=-1，=9+4=13，则，.7(1) x1=1+，x2=1(2) x1=，x2=；(3) x1
10、=，x2=；(4) x1=4，x2=2试题分析：（1）利用配方法解方程.(2)利用因式分解法（提取公因式）解方程.(3)利用公式法解方程.(4)利用因式分解法（十字相乘）解方程.试题解析：解：（1）4x28x+1=0（配方法）移项得，x22x=，配方得，x22x+1=+1，（x1）2=，x1=x1=1+，x2=1（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）7x（5x+2）6（5x+2）=0，（5x+2）（7x6）=0，5x+2=0，7x6=0，x1=，x2=；（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）整理得，3x2+10x+5=0a=3，b=10，c=5，b24ac=10060=40，
11、x=，x1=，x2 =.（4）x22x8=0（x+4）（x2）=0，x+4=0，x2=0，x1=4，x2=2点拨：一元二次方程的解法（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，公式法需要先求判别式，根据判别式的正负，求方程的解（4）因式分解法，可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法.8见解析试题分析：按要求写出符合条件的方程，然后进行求解即可.试题解析：如：x2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，x1=0或x2=3.9（1）x=1或x=5；（2）x1=，x2=试题分析：
12、（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得（1）(x+1)(x+5)=0，x+1=0或x+5=0，解得：x=1或x=5；（2）x2+x=1，x2+x+=1+(x+)2=x+= ,x1=，x2=10答案不唯一试题分析：答案不唯一，如; , 等等11试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解试题解析：这里a=2，b=4，c=1，=168=8，12（1）x=1或x=5；（2）x1=，x2=试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得（1）(x+1)(x+5)=0，x+1=0或x+5=0，解得：x=1或x=5；（2）x2+x=1，x2+x+=1+(
13、x+)2=x+= ,x1=，x2=13x1=2，x2=3试题分析：首先移项后提取公因式（x-2）得到（x-2）（x-3）=0，然后解两个一元一次方程即可试题解析：（x-2）2-（x-2）=0，（x-2）（x-3）=0，x-2=0或x-3=0，解得x1=2，x2=314x1=2+，x2=2试题分析：根据配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开平方，即可得出方程的解解：x24x1=0移项得：x24x=1配方得：x24x+4=1+4即（x2）2=5，开平方得：x2=，解得x1=2+，x2=215x1=，x2=1试题分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可试题解析：解：3x2+2
14、x5=0，（3x+5）（x1）=0，3x+5=0，x1=0，x1=，x2=1考点：解一元二次方程-因式分解法16试题分析：先设y=x2，则原方程变形为y22y8=0，运用因式分解法解得y1=2，y2=4，再把y=2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解根据阅读新知和小试牛刀即可判断解：x42x28=0设y=x2，则原方程变为：y22y8=0分解因式，得（y+2）（y4）=0，解得，y1=2，y2=4，当y=2时，x2=2，x2+2=0，=0420，此方程无实数解；当y=4时，x2=4，解得x1=2，x2=2，所以原方程的解为x1=2，x2=2根
15、据阅读新知和小试牛刀即可判断；故答案为17（1）（2）x1=1 x2=9（3）x1=-3 x2=-（4）x1=-2 x2=3试题分析：（1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（3）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；（4）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解试题解析： （1）x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，b24ac=9411=50，x=，x1=，x2=；（2）分解因式得：（x1）（x9
16、）=0，可得x1=0或x9=0，解得：x1=1 x2=9；（3）开方得：2x1=（3x+2），即2x1=3x+2或2x1=（3x+2），x1=3，x2=；（4）分解因式得：（x+2）（x12）=0，可得x+2=0或x3=0，解得：x1=2，x2=318解：（1）x=2或x=4 （2）x=2或x=6a (3)x=1或x=3 (4)x=-1或x=-3试题分析：（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程；解：（1）x2-6x+8=0（x-2）(x-4)=0x-2=0，x-4=0x=2或x=4 （2）x2-4ax-12a2=0(x+2
17、a)(x-6a)=0x+2a=0，x-6a=0x=2或x=6a (3) (x3)2+2x(x3)0(x-3)(3x-3)=0x-3=0，3x-3=0x=1或x=3 (4) (2x+3)2=x2(2x+3)2-x2=0(3x+3)(x+3)=03x+3=0，x+3=0x=-1或x=-319答案见解析试题分析：利用因式分解法分别解方程,求出结果,分析方程的解与因式之间的关系,总结出共同特点试题解析：（1）（x+1）（x1）=0,所以x1=1,x2=1（x+2）（x1）=0,所以x1=2,x2=1;（x+3）（x1）=0,所以x1=3,x2=1;（n）（x+n）（x1）=0,所以x1=n,x2=1（2）共同特点是：都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根等
