1、函数的单调性随堂练1. 已知函数f(x)=ax+ (a1)，证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数.变式训练1：讨论函数f（x）=x+（a0）的单调性.2. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.变式训练2：求函数y=的单调区间.3已知定义在区间（0，+）上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x1时，f(x)0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.变式训练3：函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.（1）求证：f(x)是R上的增函数；（2）若f(4)=5
2、,解不等式f(3m2-m-2)3.参考答案1.证明 方法一 任取x1,x2(-1, +),不妨设x1x2,则x2-x10, 1且0,，又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=+0,故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.方法二a1,y=ax为增函数，又y=，在（-1，+）上也是增函数.y=ax+在（-1，+）上为增函数.变式训练1：解：方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+）上的单调性，设x1x20,则f(x1)-f(x2) =（x1+）-（x2+）=(x1-x2)（1-）.当0x2x1时，1,则f（x1）-f（x2）0，即f(x1)f(x2),故f（
3、x）在（0，上是减函数.当x1x2时，01，则f（x1）-f（x2）0,即f(x1)f(x2),故f（x）在，+）上是增函数.f（x）是奇函数，f（x）分别在（-，-、，+）上为增函数；f（x）分别在-，0）、（0，上为减函数.2.解： 函数的定义域为x|x-1或x1,则f(x)= ,可分解成两个简单函数.f(x)= =x2-1的形式.当x1时，u(x)为增函数， 为增函数.f（x）=在1，+)上为增函数.当x-1时，u（x)为减函数，为减函数，f(x)=在（-,-1上为减函数.变式2： 解： 由4x-x20，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.t=4x-x2=-（x-2）
4、2+4，t=4x-x2的单调减区间是2，4），增区间是（0，2.又y=t在（0，+）上是减函数，函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2，单调增区间是2，4).3.解：（1）令x1=x20,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.（2）任取x1,x2(0,+)，且x1x2,则1,由于当x1时，f(x)0,所以f0,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由f()=f(x1)-f(x2)得f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.由于函数f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数，由f(|x|)f(9),得|x|9,x9或x-9.因此不等式的解集为x|x9或x-9.变式3： 解：（1）设x1,x2R，且x1x2,则x2-x10,f (x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1).即f(x)是R上的增函数. （2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3， 原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是R上的增函数，3m2-m-22, 解得-1m,故解集为（-1,）.
