1、2.8函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长(“指数爆炸”)、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.函数模型及其应用是高考热点内容之一，近几年经常出现函数应用题，特别是指数函数模型、对数函数模型和分段函数模型，一定要熟练掌握.另外，对数学建模的步骤和常用方法也要熟练掌握，并能灵活运用.1.函数的实际应用(1)基本函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数型函数
2、模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂型函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)(2)其他函数模型.2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面：利用已知函数模型解决问题；建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.(2)应用函数模型解决问题的基本过程： 、 、 、 .【自查自纠】1.(1)f(x)axb(a，b为常数，a0)f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)2.审题建模解模还原手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为()A900元 B810元C1 440元 D160元解
3、：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2 560810元故选B.()小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()解：由于纵坐标是距学校的距离，随着时间的推移，到学校的距离越来越近，所以不可能是A；开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，所以D错；对于B，C，我们发现B中的两条斜线的斜率相近，没有体现出“为了赶时间加快速度行驶”，只有C符合题意，故选C.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件
4、C9万件 D7万件解：因为y x281，所以当x9时，y 0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值故选C.规定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)1.06(0.50m1)(单位：元)给出，其中m0，记m为大于或等于m的最小整数，如44，2.73，3.84，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为_元.解：f(5.5)1.06(0.505.51)1.06(0.5061)4.24.故填4.24.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总
5、利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN)满足如图所示的二次函数关系，则每辆客车营运 年，其营运的年平均利润最大.解：由图象知，营运总利润y(x6)211.营运的年平均利润x12.当且仅当x5时，取最大值故填5.类型一幂型函数模型某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3x6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解：(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(
6、1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2，3x6.从而，f (x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f (x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大【评析】求幂型函数的最值(值域)问题，一般利用导数法较为简便某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩
7、相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解：(1)设需要新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(2)xm2m256.(2)由(1)知，f (x)mx(x512)令f (x)0，得x512，所以x64.当0x64时，f (x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x0，f(x)
8、在区间(64，640)内为增函数所以f(x)在x64处取得极小值，也是最小值此时，n119.故需新建9个桥墩才能使y最小类型二指数型函数模型()有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合.用g(t)表示经过时间t(天)后每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为经过时间t(天)后的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t) (p0)，其中g(0)是湖水污染的初始质量分数.(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(
9、2)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?解：(1)g(t)为常数，g(0)0，g(0).(2)污染源停止，即p0，此时g(t)g(0).设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g(t)5%g(0)，即有5%g(0)g(0).由实际意义知g(0)0，.tln20，即需要ln20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.【评析】在认真审题，读懂题意之后，不难看出，第(1)问的本质是求g(0)；第(2)问中污染停止即p0，从而转化为解方程的问题已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，
10、其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房.(1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6)解：(1)第1年末的住房面积为ab1.1ab(m2)，第2年末的住房面积为bab1.21a2.1b(m2)(2)第3年末的住房面积为bab(m2)，第4年末住房面积为ab(m2)，第5年末住房面积为ab1.15ab1.6a6b(m2)依题意可知，1.6a6b1.3a，解得b，所以每年拆除的
11、旧住房面积为(m2)类型三对数型函数模型()某公司对营销人员有如下规定：年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；年销售额x(万元)，x8，64时，奖金为y万元，且ylogax，y3，6，且年销售额越大，奖金越多；年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金.(1)求奖金y关于x的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金y4，10(万元)，年销售额x(万元)在什么范围内.解：(1)依题意ylogax在x8，64上为增函数，所以有 a2，所以y(2)易知x8.当8x64时，要使y4，10，则4log2x1016x1024，所以16x64.当x64时，要使y4，1040x100，所以64x100.
12、综上可得，当年销售额x在16，100(万元)内时，y4，10(万元)【评析】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题要注意对自变量进行分类有时可用函数f(x) 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(xN*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.(1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115，121，(121，127，(127，133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学
13、科(e0.051.0513).解：(1)证明：当x7时，f(x1)f(x)；当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增，且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)单调递减当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降(2)由题意可知0.115ln0.85.整理得e0.05.解得a6123.0，123.0(121，127由此可知，该学科是乙学科类型四分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千
14、米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解：(1)由题意：当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20，200是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201200；当20x200时，f(x)x(
15、200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以，当x100时，f(x)在区间20，200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0，200上取得最大值3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【评析】车流密度x有两种情形，需分0，20)和20，200两段，于是车流量y关于车流密度x的函数式也需分成两段，然后再将两段综合在一起在求分段函数时需注意值域是各段上值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的()某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100
16、件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？解：(1)当0x100时，P60；当100x500时，P600.02(x100)62.所以P (2)设销售商一次订购量为x件，工厂获得的利润为L元，则有L(P40)x当x450时，L5850.因此，当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是5850元1.解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握
17、.因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础.(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型.(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果.(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题.以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的
18、过程可以用下面框图表示：2.解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型.一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等.另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型.
