1、第六节双曲线热点命题分析学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等.本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养.授课提示：对应学生用书第166页知识点一双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：(1)在平面内；(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；(3)非零常数小于|F1F2|. 温馨提醒 双曲线定义的四点辨析(1)当02a|F1F2|时， 动点的轨迹才是双曲线(2)当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线(3)当2a|F1F2|时，
2、动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(4)当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在1过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是()A28B148C148D8答案：C2(易错题)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之差等于6的点的轨迹是_答案：双曲线1的下支知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，
3、)a，b，c的关系c2a2b2续表标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 温馨提醒 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.3若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1PF2.1(2021昆明市高三调研)已知双曲线C：1，则C的离心率为()A.BC.D答案：B2已知ab0，
4、椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案：A3经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_答案：1授课提示：对应学生用书第167页题型一双曲线的定义及标准方程自主探究1(多选题)(2020新高考全国卷)已知曲线C：mx2ny21()A若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是双曲线，其渐近线方程为yxD若m0，n0，则C是两条直线解析：对于A，当mn0时，有0，方程化为1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，当mn0时，方程化为x2y2，表
5、示半径为 的圆，故B错误；对于C，当m0，n0时，方程化为1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b ，渐近线方程为y x；当m0，n0时，方程化为1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中a ，b ，渐近线方程为y x，故C正确；对于D，当m0，n0时，方程化为y ，表示两条平行于x轴的直线，故D正确答案：ACD2(2020高考全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A.B3C.D2答案：B3(2021洛阳模拟)若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8B9C10D12解析：
6、由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号所以|PF|PA|的最小值为9.答案：B4已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A.1 B1Cx21 D1答案：C双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点(1)应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是
7、双曲线的一支同时注意定义的转化应用(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混.题型二双曲线的几何性质多维探究双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点常见的命题角度有：(1)已知离心率求渐近线方程；(2)已知渐近线求离心率；(3)由离心率或渐近线求双曲线方程.考法(一)已知离心率研究渐近线问题例1已知双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是()A. BC. D解析因为双曲线1(a0，b0)的离心率e(1,2，所以12，所以14，又c2a2b2，所以03，所以，所以.1(a0，b0)经过第一、三象限的渐近线的方
8、程为yx，设该渐近线的倾斜角为，则tan ，又，所以.答案C考法(二)已知渐近线求离心率例2(2019高考全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C. D答案D考法(三)由离心率或渐近线求双曲线方程例3(2021义乌模拟)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点落在直线yx2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A.1 B1Cx21 Dy21答案D解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点(1)已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分|m|或|m|讨论(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的
9、应用.题组突破1(2020高考全国卷)设双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1PF2P.若PF1F2的面积为4，则a()A1B2C4D8解析：由得|F1F2|2c2a.PF1F2中，F1PF2P，|F1P|2|F2P|2|F1F2|24c220a2.不妨设P在C的右支上，则|F1P|F2P|2a.PF1F2的面积为4，|F1P|F2P|4，即|F1P|F2P|8.(|F1P|F2P|)2|F1P|2|F2P|22|F1P|F2P|20a2284a2，解得a1.答案：A2(多选题)(2021山东济南模拟)已知双曲线C的方程为1，则下列说法正确的是(
10、)A双曲线C的实轴长为8B双曲线C的渐近线方程为yxC双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D双曲线C上的点到焦点距离的最小值为解析：因为a216，所以a4,2a8，故A正确；因为a4，b3，所以双曲线C的渐近线方程为yxx，故B正确；c5，焦点坐标为(5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x4y0的距离为3，故C正确；双曲线C上的点到焦点距离的最小值为ca1，故D错误答案：ABC3(2021武汉质监)已知双曲线E：1的离心率为，则双曲线E的焦距为()A4B5C8D10答案：D题型三直线与双曲线的位置关系合作探究例已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4,0)，实轴长为4.(1)求双曲线C的方
11、程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围解析(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)由已知得：a2，c4，再由a2b2c2，得b24，所以双曲线C的方程为1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx2与1联立，得(13k2)x212kx360.由题意知解得k1.所以当k1时，l与双曲线左支有两个交点解决直线与双曲线位置关系问题的步骤对点训练(2019高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_答案：2双曲线几何性质中的核心素养数学运算、直观想象双曲线的离
12、心率范围问题例(2021黑龙江海林月考)已知双曲线1(a0，b0)若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且3，则双曲线离心率的最小值为()A.BC2D2解析：因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且3，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)因为3，所以cx13(cx2)，所以3x2x12c.因为x1a，x2a，所以x1a,3x23a，所以3x2x14a，即2c4a，所以2，即e2，所以双曲线离心率的最小值为2.答案：C双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就
13、是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等对点训练(2021湖北九校联考)已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C(1，)D(，)解析：双曲线的渐近线方程为yx.设直线PF1的方程为yk(xc)，因为点P在双曲线的右支上，所以|k|.由F2(c,0)到直线PF1的距离da，解得k2，根据k2，得a43b2c2b4，所以a4b4(a2b2)(a2b2)(a2b2)c23b2c2，则a2b23b2，即，所以e21，则e.答案：B
