1、学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1给出下列命题：空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；已知向量ab，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A、B、M、N是空间四点，若、不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；已知向量组a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数为()A1B2C3D4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故正确；中，ab，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；中，向量，共面，则A、B、M、N共面；中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底故均正确【答案】D2若ae1e2e3，
2、be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，d a b c，则、分别为()A.，1，B，1，C，1，D，1，【解析】d a b c(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3e12e23e3.由向量基底表示唯一性得【答案】A3已知i，j，k为标准正交基底，ai2j3k，则a在i方向上的投影为()A1B1C.D【解析】ai|a|i|cosa，i，|a|cosa，i(i2j3k)i1.【答案】A4如图239，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且a，b，c，则()图239A.abcB.abcC.abcDabc【解析】()c()ca(c)bab
3、c.【答案】D5(2016兰州高二检测)已知点A在基底a，b，c下的坐标为8,6,4，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标为()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,10,12)D(4,2,3)【解析】点A在基底a，b，c下坐标为(8,6,4)，8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)【答案】A二、填空题6e1，e2，e3是空间一组基底，ae12e2e3，b2e14e22e3，则a与b的关系为_【导学号：32550030】【解析】b2a，ab.【答案】ab7(2016金华高二检测)已知
4、点A在基底a，b，c下的坐标为(2,1,3)，其中a4i2j，b2j3k，c3kj，则点A在基底i，j，k下的坐标为_【解析】由题意知点A对应向量为2ab3c2(4i2j)(2j3k)3(3kj)8i3j12k，点A在基底i，j，k下的坐标为(8,3,12)【答案】(8,3,12)8已知长方体ABCDABCD，点E，F分别是上底面ABCD和面CCDD的中心，且xyz，则2x4y6z_.【解析】()，又xyz，x，y，z1.2x4y6z5.【答案】5三、解答题9已知在正四棱锥PABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2310，以O为坐标原点，分别以射线
5、DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标图2310【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以ij，所以向量的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)同理可得A(1，1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)又点P在z轴上，所以2k.所以向量的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)因为F为侧棱PB的中点，所以()(ij2k)ijk，所以点F的坐标为.同理点E的坐标为.故所求各点的坐标分别为A(1，1,0)，B(
6、1,1,0)，C(1，1,0)，D(1，1,0)，P(0,0,2)，E，F.10如图2311，在空间四边形OABC中，|OA|8，|AB|6，|AC|4，|BC|5，OAC45，OAB60，求在上的投影【导学号：32550031】图2311【解】，|cos ，|cos ，84cos 13586cos 1202416，在上的投影为|cos ，.能力提升1设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则(x，y，z)为()A.BC.D【解析】因为OG()，而xyz，所以x，y，z.【答案】A2(2016泰安高二检测)已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab
7、，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标为()A.BC.D【解析】设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则a2b3cx(ab)y(ab)z c(xy)a(xy)bzc，即.【答案】B3已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，x，则x_.【解析】由于M平面ABC，所以x1，解得x.【答案】4如图2312所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图2312(1)；(2)；(3).【解】(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc，又ca，abc.
