1、9.7双 曲 线1双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_等于常数2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦点间的距离叫做双曲线的_(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修21 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e1)的轨迹叫做双曲线定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的_(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做_“离心率e”是“双曲线为等轴双曲线”的_条件，且等轴双曲线两条渐近线互相_一般可设其方程为x2y2(0)2双曲线的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴
2、上(1)图形(2)标准方程1(a0，b0)(3)范围xa或xaya或ya(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(a，0)，A2(a，0)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，c)，F2(0，c)(8)焦距2c2(9)离心率(10)准线xy(11)渐近线方程yx自查自纠1(1)绝对值焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2(2)1(a0，b0)(5)A1(0，a)，A2(0，a)(7)F1(c，0)，F2(c，0)(9)e(e1)(11)yx ()下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 B.y21C.x21 Dy21解：A，B选项中双曲线的焦点在x轴上，C，D
3、选项中双曲线的焦点在y轴上，又令x20，得y2x，令y20，得yx.故选C. ()已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解：c5，e，得a4，b2c2a252429，双曲线方程为1.故选C. ()已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C焦距相等 D离心率相等解：易知双曲线C1实轴长为2cos，虚轴长为2sin，焦距为2，离心率为；双曲线C2实轴长为2sin，虚轴长为2sintan，焦距为2tan，离心率为，又00，b0)，易求c2，双曲线过点(3，2)，1，得a2.联立解得a212，b28.故所求双
4、曲线的方程为1.解法二：设双曲线方程为1，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.【点拨】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2By21(AB0)，这样可以简化运算(1)()设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1，0)，则C的方程为_解：根据已知条件可判断双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，c，a1，b2c2a21，C的方程为x2y21.故填x2y21.(2)()已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1
5、 B.1C.1 D.1解：由题意可得，c，又c27a2b2，解得a24，b23，故双曲线的方程为1.故选D.类型二双曲线的离心率(1)设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l经过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_解：直线l的方程为1，即bxayab0.由原点到直线l的距离dc，得3c416a2b216a2(c2a2)，即3c416c2a216a40，有3e416e2160，解之得e24或e2.ba0，b2a2，即c2a2a2，e22.e24，e2.故填2.(2)()已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一
6、点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_解：在PF1F2中，由正弦定理知，又，点P在双曲线右支上设P(x0，y0)，|PF1|PF2|2a，|PF2|.由双曲线的几何性质知|PF2|ca，则ca，即e22e10，又e1，1e1.故填(1，1)【点拨】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征2c的运用(变式2(2)(1)()设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的
7、离心率为()A. B. C. D3解：考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|，又由已知|PF1|PF2|ab，ab，得(舍去负值)该双曲线的离心率e.故选B.(2)设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围是_解：|PF1|2|PF2|，P点在双曲线的右支上又由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|PF1|4a，|PF2|2a.|PF1|PF2|2c，6a2c，即3.e1，1e3.故填(1，3类型三双曲线的渐近线(1
8、)()已知双曲线C：1的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx B. yxC. yx D. yx解：根据双曲线的性质可知e，c2a2b2，联立可得b2，即 ，故C的渐近线方程为yx.故选C.(2)()已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_解：双曲线y21(a0)的渐近线方程是yx，解得a.故填.【点拨】本例考查双曲线中a，b，c的关系，以及双曲线的渐近线等知识渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程()设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直
9、线BC的距离小于a，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A(1，0)(0，1)B(，1)(1，)C(，0)(0，)D(，)(，)解：由题意知BC为双曲线的通径，|BC|，|BF|.又|AF|ca，BDAC，ABCD，ADBC且AD平分BC，点D在x轴上，由RtBFARtDFB，得|BF|2|AF|FD|，即(ca)|FD|，|FD|，则由题意知a，即ac，b4a2(ca)(ac)，即b4a2(c2a2)，即b4a2b2，01.解得01，而双曲线的渐近线斜率为，双曲线的渐近线斜率的取值范围是(1，0)(0，1)故选A.1对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点2在双曲线的定义中，当
10、时，动点M的轨迹是双曲线的一支，当时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”3定义中|F1F2|2a这个条件不可忽视，若|F1F2|2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2|2a，则轨迹不存在4在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x2，y2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上5在椭圆中，a，b，c满足a2b2c2，即a最大；在双曲线中，a，b，c满足c2a2b2，即c最大6在双曲线的几何性质
11、中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数7已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程0就是双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程8求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A0，B0，AB时为椭圆，当AB0时为双曲线9直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相
12、切时，直线与双曲线仅有一个交点10双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的双曲线系方程为(0)(2)双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|，则1(a0，b0)，若点P在右支上，则r1ex0a，r2ex0a；若点P在左支上，则r1ex0a，r2ex0a.1(a0，b0)，若点P在上支上，则r1ey0a，r2ey0a；若点P在下支上，则r1ey0a，r2ey0a.1双曲线y21的离心率是()A. B. C. D.解：在双曲线y21中，a24，b21，c2a2b25，双曲线的离心率
13、是e.故选C.2()已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解：由题意知c3，e，a2.b2c2a232225.C的方程为1.故选B.3()若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A离心率相等 B虚半轴长相等C实半轴长相等 D焦距相等解：由0k9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，且，得两双曲线焦距相等故选D.4()已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.解：由题知F1(，0)，F2(，0)，M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，y1，则
14、(x0，y0)(x0，y0)xy33y10，解得y00)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A对任意的a，b，e1e2B当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2解：由题意，双曲线C1：ca2b2，e1，双曲线C2：c(am)2(bm)2，e2.ee，当ab时，e1e2；当ae2.故选D.7()设双曲线C经过点(2，2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_解：设与双曲线x21有相同渐近线的双曲线方程为x2k，将点(2，2)代入，得k3.双曲线C的方程为1，其渐近线方程为2xy0.故填1；2xy0.8()已知F是双曲线C
15、：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6) ，当APF周长最小时，该三角形的面积为_解：依题意，双曲线C：x21的右焦点为F(3，0)，实半轴长a1，左焦点为M(3，0)，P在C的左支上，APF的周长l|AP|PF|AF|PF|AF|AM|PM|AF|AM|2a1515232，当且仅当A，P，M三点共线且P在A，M中间时取等号，此时直线AM的方程为1，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2，2)，此时，APF的面积为666212.故填12.9已知双曲线的两焦点坐标分别为F1(0，2)，F2(0，2)，以及双曲线上一点P的坐标为(3，2)，求双曲线的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率解：由
16、题意知双曲线的焦点在y轴上，可设为1，2a|PF2|PF1|32，即a1，b，双曲线的方程为y21，顶点坐标为(0，1)，渐近线方程为yx，离心率e2.10已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)，求C的离心率解：易求得直线l的方程为yx2，代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，由M(1，3)为BD的中点知1，1，有b23a2.c2a.C的离心率e2.11()已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F(c，0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；
17、(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解：(1)双曲线的渐近线方程为yx，ab，c2a2b22a24，得a2b22.双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，则直线AO的斜率满足()1，x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，x0c，点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即3b2c2a2c24a2b2.又a2b2c2，将b2c2a2代入式，整理得3c48a2c24a40，3840，得(3e22)(e22)0，e1，e，即双曲线的离心率为. 直线l：y(x2)和双曲线C：1(a
18、0，b0)交于A，B两点，且|AB|，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程解：(1)设双曲线C：1过第一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60，则260，30，tan30.于是e211，e.(2)由于，于是可设双曲线方程为1(k0)，即x23y23k2.将y(x2)代入x23y23k2中，得8x236x363k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|22，解得k21.故所求双曲线C的方程为y21.
