1、解答题专项训练五1.已知抛物线C：x24y的焦点为F，过点K(0，1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求直线BD的直线方程解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为ykx1，由得x24kx40，从而x1x24k，x1x24.直线BD的方程为yy1(xx1)，即y(xx1)，令x0，得y1，所以点F在直线BD上(2)因为(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)84k2，故84k2，解得k，所以l的方程为4x3y30或4x3y30.又由(1)得x2x1，故直线BD的斜率为，因而
2、直线BD的方程为x3y30或x3y30.2已知动点P到直线l：x1的距离等于它到圆C：x2y24x10的切线长(P到切点的距离)记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围解(1)由已知得，圆心为C(2,0)，半径r.设P(x，y)，依题意可得|x1|，整理得y26x.故曲线E的方程为y26x.(2)设直线AB的方程为myx2，则直线CQ的方程为ym(x2)，可得Q(1,3m)将myx2代入y26x并整理，可得y26my120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y26m，y1y212
3、，D(3m22,3m)，|QD|3m23.|AB|2 ，所以2，故.3设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45，2.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|，求椭圆C的方程解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为45及2，可知y10.直线l的方程为yxc，其中c，联立得(a2b2)y22b2cyb40，解得y1，y2.因为2，所以y12y2，即2，求得离心率e.(2)因为|AB|y2y1|，所以，由，得ba，所以a，得a3，b，所以椭圆C的方程为1.4如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y
4、轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2,2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由消去x，得y24sy40，故y1y24，所以B.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为.从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y，所以N.设M(m,0)，由A，M，N三点共线，得，于是
5、m.所以m2.经检验，m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，)5已知动点P到定点F(1,0)和到直线x2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A、B两点，直线l：ymxn与曲线E交于C、D两点，与线段AB相交于一点(与A、B不重合)(1)求曲线E的方程；(2)当直线l与圆x2y21相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由解(1)设点P(x，y)，由题意可得，整理可得：y21.曲线E的方程是y21.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知可得|AB|.当m0时，不合题意当m
6、0时，由直线l与圆x2y21相切，可得1，即m21n2.联立消去y得x22mnxn210，4m2n24(n21)2m20，x1，x2，S四边形ABCD|AB|x2x1|，当且仅当2|m|，即m时等号成立，此时n，经检验可知，直线yx和直线yx符合题意6设椭圆1(a)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2，又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以，椭圆的方程为
7、1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2，或x，由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有F(1，yH)，B.由BFHF，得BF0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，MOAMAO |MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简得xM1，即1，解得k或k.所以，直线l的斜率为或.7如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标
8、原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)又点P的坐标为(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)联立得(2k21)x24kx20.其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.从而，x1x2y1y2(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，当1时，23.此时，3为定值当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD.此时，213.故存
9、在常数1，使得为定值3.8已知椭圆C：1(ab0)的长轴长为4，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设直线PM，QM的斜率分别为k，k，证明：为定值；求直线AB的斜率的最小值解(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知2a4,2c2，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y00)由M(0，m)，可得P(x0,2m)，Q(x0，2m)所以直线PM的斜率k.直线QM的斜率k.此时3.所以为定值3.设A(x1，y1)，B(x2，y2)直线PA的方程为ykxm，直线QB的方程为y3kxm.联立整理得(2k21)x24mkx2m240.由x0x1，可得x1.所以y1kx1mm.同理x2，y2m.所以x2x1，y2y1mm，所以kAB.由m0，x00，可知k0，所以6k2，等号当且仅当k时取得此时，即m，符合题意所以直线AB的斜率的最小值为.
