1、河南省郑州市中牟县第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期第四次月考考试试题 理一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A.36B.120C.720D.2402.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=lnx C.y=D.y=sinx3.用反证法证明命题:“若a,bN,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3 整除”时,假设应为()A.a,b都能被3整除 B.a,b都不能被3整除C.a,b不都能被3整除 D.a不能被3整除4.设函数
2、f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为()A.4 B.- C.2 D.-5.用数学归纳法证明12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=时,从n=k到n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.(k+1)6.cos2xdx=()A. B. C. D.-7.把正整数按如图所示的规律排序,则从2 011到2 013的箭头方向依次为() 8.对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,
3、其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上9.当x=a时,函数y=ln(x+2)-x取到极大值b,则ab等于()A.-1 B.0C.1D. 210.已知i为虚数单位,z为复数,下面叙述正确的是()A.z-为纯虚数 B.任何数的偶数次幂均为非负数C.i+1的共轭复数为i-1 D.2+3i的虚部为311.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+)上是减函数,则实数b的取值范围()A.-1,+) B.(-1,+) C.(-,-1D.(-,-1)12.设f(x),g(x)分别是定
4、义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)2,f(8),f(16)3,观察上述结果,可推测一般的结论为_.15.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是_.16.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上是单调递增函数,则实数m的取值范围是_.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设存在复数z同时满足下列条件:(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限;(2)z+2iz=8+ai(aR).试求a的取值范围.18.(12分)已知函数f(x)=x3-
5、x+2,其导函数为f(x).(1)求f(x)在x=1处的切线l的方程.(2)求直线l与f(x)图象围成的图形的面积.19.已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值.(1)确定a的值.(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5).(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(
6、n)的表达式.(3)求+的值.21.已知=40，设f(x)=.(1)求n的值.(2)f(x)的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可).(3)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可).22.(12分)设aR,函数f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx.(1)当a=1时,求f(x)的极值.(2)设g(x)=ex-x-1,若对于任意的x1(0,+),x2R,不等式f(x1)g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.答案一、 选择题:1-5:CCBAB 6-10:ABAAD 11-12:CD二、填空题13: 40 14.:f(2n) 15:a3 16:-1m0三、解答题(本大题
7、共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.解：设z=x+yi(x,yR),由(1)得x0,由(2)得,x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,即x2+y2-2y+2xi=8+ai.由复数相等的定义得,由得x2+(y-1)2=9,因为x0,所以-3x0,所以-6a0.18.：解(1)f (x)=3x2-1,所以k=f(1)=2,又f(1)=2,所以l:y-2=2(x-1),即:y=2x.(2)由x1=-,x2=1,所以S=2x-(3x2-1)dx=-x3+x2+x|=.19. 解(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x.因为f(x)在x=-处取得极值,所以f
8、(-)=3a+2(-)=-=0,解得a=.经检验满足题意.(2)由(1)知g(x)=(x3+x2)ex,所以g(x)=(x2+2x)ex+(x3+x2)ex=(x3+x2+2x)ex=x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数;综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.20.解(1)因为f(1)=1,f(2)=1+4=5,f(3)=1+4+8=13,f(4)=1+4+8+12
9、=25,所以f(5)=1+4+8+12+16=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=8=42,f(4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n,所以f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4(n-2),f(n-2)-f(n-3)=4(n-3),f(2)-f(1)=41,所以f(n)-f(1)=4(n-1)+(n-2)+2+1=2(n-1)n,所以f(n)=2n2-2n+1.(3)当n2时,=(-),所以+=1+(1-+-+-)=1+(1-)=-.21. 解：(1)由已知=40，可得n
10、(n-1)(n-2)(n-3)=40，求得n=7.(2)f(x)=的展开式的通项公式为Tr+1=(-1)r，令7-为整数，可得r=0，3，6，故第1项、第4项、第7项为有理项.(3)由于f(x)的展开式中第r+1项的系数为(-1)r，故当r=4时，即第5项的系数最大；当r=3时，即第4项的系数最小.22.解：(1)当a=1时,函数f(x)=x2-3x+lnx,f(x)=.令f(x)=0得:x1=,x2=1.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(0,)(,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增因此,当x=时,f(x)有极大值,且f(x)极大值=-l
11、n2,当x=1时,f(x)有极小值,且f(x)极小值=-2,(2)由g(x)=ex-x-1,则g(x)=ex-1.令g(x)0,解得x0;令g(x)0,解得x0,解得0x1;令f(x)1.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数,f(x)最大值=f(1)=-10,所以a=0符合题意.当a0,解得0x1;令f(x)1.所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1+)上是减函数,所以f(x)最大值=f(1)=-a-10,得-1a,所以-1a0时f(x)=,f(x)=0得x1=,x2=1,a时,0x10,解得0x1;令f(x)0,解得x1.所以f(x)在(1,+)是增函数,而当x+时,f(x)+,这与对于任意的x(0,+)时f(x)0矛盾,同理0a时也不成立.综上所述:a的取值范围为-1,0.
