1、研读考纲明方向重读教材定方法(对应人教版必修2的页码及相关问题)1P31哪位科学家把天空中的现象与地面上的现象统一起来，成功解释了天体运行的规律？提示：牛顿。2P32开普勒行星运动定律的表述。提示：(1)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(2)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。3P33对行星运动轨道简化为圆周后的开普勒三个定律的表述。提示：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做
2、匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即k。4P36问题与练习T2。提示：近地点的速度较大。5P37“太阳对行星的引力”一段，太阳对行星的引力公式依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式推导出来。6P39问题与练习T2。提示：通过开普勒第三定律得到的。7P40万有引力定律的适用范围是什么？提示：自然界中的任何两个物体。8P41万有引力理论的成就有哪些？提示：计算天体的质量、发现未知天体。9P42笔尖下发现的是哪一颗行星？提示：海王星。10P43问题与练习T3。提示：由m2r，得M，代入数据得：M5.931024 kg。11P
3、44“宇宙速度”一段，发射地球卫星的最小速度是多少？提示：7.9 km/s。12P46科学漫步黑洞的特点是什么？提示：黑洞是引力非常大的天体，光以3108 m/s的速度都不能从其表面逃逸。第22讲万有引力定律及其应用考点一开普勒行星运动定律开普勒行星运动三大定律火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析本题考查开普勒行星运动定律，意在考查考生对开普勒三大定律的理解。由于火星和
4、木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B错误；由开普勒第三定律可知，k，得，C正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此D错误。答案C方法感悟(1)行星或卫星绕中心天体的运动轨道通常近似按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，如嫦娥绕月、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，与行星质量无关；对于不同的中心天体，k值一般不同。对于圆轨道，轨道半长轴a，就是圆轨道半径R。1(2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(
5、)A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案B解析开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，A错误，B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，C错误；牛顿发现了万有引力定律，D错误。2. (2017全国卷)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海
6、王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A从P到M所用的时间等于B从Q到N阶段，机械能逐渐变大C从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；从Q到N阶段，机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。3(人教版必修2 P36T4改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半
7、长轴等于地球公转半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是1986年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，该星下次飞经地球是哪一年？答案2062年解析将地球的公转轨道看成圆轨道，其周期T11年，半径为r1；设哈雷彗星的周期为T2，轨道半长轴为a2，则根据开普勒第三定律k，有：。因为a218r1，所以可知哈雷彗星的周期为T276.4年，则下次为2062年。考点二万有引力定律的理解和应用1万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们
8、之间距离r的平方成反比。(2)表达式：FG，其中G为引力常量，G6.671011 Nm2/kg2。卡文迪许第一个通过实验精确测量出G值。(3)适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，其中r是两球心间的距离。对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力，r为球心到质点的距离。2万有引力理论的主要成就(1)发现未知天体。(2)计算天体质量。理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一
9、个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图正确的是()解析根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的球体对质点的万有引力，所以FGGx。当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，受到地球的万有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力FG。当xR时，F与x成正比，当xR后，F与x的平方成反比。所以A正确。答案A方法感悟(1)在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到球壳万有引力的合力为零。(2)在匀质球体内部距球心r外，质点受到的万有引力等于半径为r的
10、球体对它的引力。(3)万有引力定律的表达式FG适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。1对于万有引力定律的数学表达式FG，下列说法中正确的是()A牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量G的大小Br趋近于0时，万有引力趋于无穷大C质量为m1、m2的物体受到的万有引力总是大小相等D质量为m1、m2的物体受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力答案C解析牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精
11、确测量出引力常量G的大小，A错误；万有引力定律的表达式FG，适用于两个质点之间的计算，当r0时，两个物体都不能看成质点，上式不再成立，B错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C正确、D错误。2假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A1 B1C.2 D.2答案A解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mgG；
12、设矿井底部处的重力加速度为g，等效“地球”的质量为M，其半径rRd，则矿井底部处的物体m受到的重力mgG，又MVR3，MV(Rd)3，联立解得1，A正确。3. 如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心O处放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)()AG B0 C4G DG答案D解析若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对O处质点的吸引力等于完整大球体对O处质点的吸引力与挖去小球体对O处质点的吸引力之差，挖去的小球体球心与O处质点重合，对O处质点的万有引力为零，则剩余部
13、分对O处质点的万有引力等于完整大球体对O处质点的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，剩余均匀球壳对O处质点的万有引力为零，故剩余部分对O处质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，FGG，故D正确。4两艘轮船，质量都是1.0104 t，相距10 km时它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？(g取值为10 N/kg)答案6.67105 N6.671013解析轮船之间的引力FG6.671011 N6.67105 N轮船重力Gmg1.0108 N引力与重力的比值6.671013。考点三计算天体质量与密度1万有引力定律从动力学角度解决了天
14、体运动问题。天体运动与地面上物体的运动遵循相同的动力学规律。行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力。运用万有引力定律不仅可以计算太阳和地球的质量，还可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。2根据质量与密度的关系MR3可知，在已知天体半径R和天体质量M的条件下，可以计算天体的密度。3下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，月球半径约为1.7
15、4103 km。利用以上数据估算月球的质量约为()A8.11010 kg B7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kg解析由Gmr得M，又rR月h，代入数据得月球质量M7.41022 kg，D正确。答案D方法感悟1天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。2自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。(人教版必修2 P43T3改编)经测定
16、月地距离为3.84108 m，月球绕地球运动的周期为2.36106 s，试计算地球质量。(G6.671011 Nm2/kg2)答案6.011024 kg解析月球与地球间的万有引力提供月球绕地球运动的向心力FG，Fm2rGm2r，M地6.011024 kg。考点四天体表面的重力加速度问题1物体的重力是地球对物体万有引力的一个分力在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心力F，如图所示。其中FG，而Fm2r。除赤道和两极点外，重力与万有引力的大小、方向皆不同。(1)物体在赤道上时，F、G、F三力同向，此时F达最大值，重力达最小值，则：GminFFGm
17、2R。(2)物体在两极的极点时，F0，FG，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为GmaxG。2不考虑地球自转时，重力等于万有引力(1)设在地球表面附近的重力加速度为g，则mgG，得g。(2)设在地球上空距离地面高度为h处的重力加速度为g，则mg，得g所以。据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取g10 m/s2)()A52 B25 C110 D101解析根据h和g可得，
18、M，即R3，行星平均密度，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为101，D正确。答案D方法感悟(1)重力是万有引力的一个分力，另一个分力则是提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，由于向心力很小(可忽略)，一般认为重力等于万有引力，即mg。这样重力加速度就与星体质量、半径联系在一起了。密度公式：在这部分经常用到。(2)在地球上所有只在重力作用下的运动形式，例如：自由落体运动、竖直上抛运动、平抛、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适合于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度的取值不同而已。1(多选)假如地球
19、自转角速度增大，关于物体所受的重力，下列说法正确的是()A放在赤道地面上物体的万有引力不变B放在两极地面上的物体的重力不变C放在赤道地面上物体的重力减小D放在两极地面上物体的重力增加答案ABC解析地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，A正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，B正确、D错误；而对于放在赤道地面上的物体，F万G重m2R，由于增大，则G重减小，C正确。2宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A0 B.C
20、. D.答案B解析飞船受到的万有引力等于在该处所受的重力，即Gmg，得g，B正确。3若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处，以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为()A.R B.R C2R D.R答案C解析平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即hgt2，所以xv0，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以，根据公式Gmg可得g，故，解得R行2R，故C正确。课后作业巩固强化练1(多选)下列说法正确的是()A关于公式k中的常量k，它是一个与中心天体有
21、关的常量B开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用C已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略答案AC解析公式k中的k是一个与中心天体有关的常量，A正确；开普勒定律不仅适用于太阳系，对其他恒星系也适用，B错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，由k可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C正确；发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，D错误。2设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看成质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相
22、对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2。假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是()AF3、F4 BF3、F40CF3、F40 DF34F0、F4答案B解析设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力：F1F0。在赤道处，弹簧测力计的读数为F2，则向心力：Fn2F1F2F0m2R。由于球体的体积公式为：V所以半径以内的部分的质量为：MMM物体在处受到的万有引力：F3F1F0物
23、体需要的向心力：Fn3m2m2RF0，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为：F3F3Fn3F0F0F0。第四次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0，故B正确。3一卫星沿某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()A. B. C. D.答案B解析设行星的质量为M、半径为R，行星表面的重力加速度为g，卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，得Gm；在行星表面万有引力等于重力，即
24、Gmg；由已知条件Nmg得g；联立以上三式可得R，M，故B正确。4. 如图所示，在半径为R的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为R且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为d、质量为m的小球(可视为质点)间的万有引力。答案解析可以用“补偿法”进行等效计算。设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为F1，挖出的球形实体质量为M，与小球间的万有引力为F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为F，则有F1FF2。设挖出空穴前铅球的体积为V，挖出的球形实体体积为V，则MMM，根据万有引力定律可得F1G，F2G，故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力FF1F2GG
25、。真题模拟练5(2018全国卷)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为()A21 B41 C81 D161答案C解析设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ4R，根据开普勒第三定律知，64，所以P与Q的周期之比为TPTQ81，C正确。6(2015江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕
26、太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B1 C5 D10答案B解析行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故有Gmr可得M，则32321，B正确。7(2018全国卷)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期T5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.671011 Nm2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3 B51012 kg/m3C51015 kg/m3 D51018 kg/m3答案C解析设脉冲星质量为M，密度为，星体表面一物块质量为m，根据天体
27、运动规律知：m2R，代入可得：min51015 kg/m3，故C正确。8(2018北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证()A地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的B月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的C自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的D苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的答案B解析设月球质量为M月，地球质量为M，苹果质量为m，则月球受到的万有引力为F月，苹果受到的万有引力为F，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故二者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；根据牛顿第二定律M月a月，ma
28、，整理可以得到a月a，故B正确；在月球表面处Gmg月，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重力加速度的关系，故C错误；苹果在月球表面受到的引力为FG，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故D错误。9(2017北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案D解析A能：根据Gmg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出
29、地球的质量。B能：根据G及v可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量。C能：根据Gmr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量。D不能：已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量。10. (2018武汉模拟)我国在2018年12月发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道为圆形轨道，其半径为R；轨道为椭圆轨道，半长轴为a，半短轴为b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道和
30、轨道上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积Sab)()A. B. C. D.答案C解析设探测器在轨道上运动的周期为T1，在轨道上运动的周期为T2，则在轨道上扫过的面积速率为：，在轨道上扫过的面积速率为：，由开普勒第三定律可知：，由以上三式联立解得，故C正确。11(2018高密模拟)据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度g10 m/s2)()A40 kg B50 kg C60 kg D30 kg答案A解
31、析在地球表面，万有引力等于重力mg，得g，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m kg40 kg，故A正确。12(2018西安模拟)(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它在近月点的高度，表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于()Ama BmCm(Rh)2 Dm答案AB
32、解析“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得Fma，A正确；由万有引力定律得FG，又在月球表面上，Gmg，解得Fm，B正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是Rh，C、D错误。13(2018宝鸡一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为()AT BTCT DT答案D解析设星球和探测器质量分别为m、m，在两极点，有：GF，在赤道，有：GFMR
33、，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：GmR；联立以上三式解得T自T。故D正确，A、B、C错误。14. (2018东北三省四市一模)开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：(1)月球的密度；(2)在轨道上运行的时间。答案(1)(2) 解析(1)由万有引力充当向心力：m2r，解得M月球的密度：，解得。(2)椭圆轨道的半长轴：a，设椭圆轨道上运行周期为T1，由开普勒第三定律有：，在轨道上运行的时间为t，解得t 。
