1、江苏省宝应县2019-2020学年高二数学下学期期中试题一、单选题：(本大题9小题，共45分)1若复数，则（ ）ABCD2如果(，表示虚数单位)，那么（ ）A1BC2D03已知函数的导函数为，且满足，则为（ ）ABCD 4下列求导运算正确的是（ ）ABCD 5用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）ABCD16二项式展开式中的常数项是（ ）ABCD 7某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有()A45种B56种C90种D120种8由组成的无重复数字的五位偶数共有（ ）
2、A36个 B42个 C48个 D120个9已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）ABCD二、多选题：(本大题3小题，共15分)10若，则（ ）ABCD11定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A-3是的一个极小值点 B-2和-1都是的极大值点C的单调递增区间是 D的单调递减区间是12已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第6项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含项的系数为45三、填空题：(本大题4小题，共20分)13_。1
3、4函数在其极值点处的切线方程为_。15设，若的内角满足，则= 。16设函数，若无最大值，则实数的取值范围是_。四、解答题(本大题6小题，共70分)17（1）计算：（2）解方程：18已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值。19已知数列满足，.（1）计算，根据计算结果，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论。20毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）、两人不排在一起，有几种排法？（2）、两人必须排在一起，有几种排法？（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？21如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该
4、设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为。（1）设，将表示为关于的函数；设，将表示为关于的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？22已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围。2019-2020学年度第二学期高二下学期数学期中考试参考答案1.C 2.B 3. 4. 5.A 6. 7.A 8.B 9.10AC 11ACD 12BCD1331 14 15 16【分析
5、】f（x），令f（x）0，则x1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a（，1）17解：=（2），化简得，解得（不合题意，舍去）；10分18解：函数的定义域为,(1)当时， 2分 因而，所以曲线在点处的切线方程为，即. 5分(2)由知：当时，函数为上的增函数，函数无极值；7分当时，由，解得，又当时，；当时，从而函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值9分综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极小值，无极大值10分19（1）解：当时，；当时，；当时，3分由此可以猜想，.5分（2）下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；6分假设当时猜想成立，即。7分则当时, 11分所以当时猜想也成立；由可知，猜想
6、成立，即.12分20解：（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为； 4分（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，因此，排法种数为；8分（3）分以下两种情况讨论：若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.综上所述，共有种不同的排法种数. 12分21解：（1）延长交于点，则，且为的中点，所以，由对称性可知，.若，则，在中，所以，4分若，则，在中，所以，所以.8分（2）选取中的函数关系式，记则由得。10分当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以当时，取得最小值。从而钢管
7、总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. 12分选取中的函数关系式，记，则由及可得，10分当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以当时，取得最小值，从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省. 12分22解：（1），当时，单调递减区间为，单调递增区间为，时，取得极小值，也是最小值，的最小值为。 2分（2）当时，令或， 3分若时，恒成立，函数单调递减区间是，无递增区间。若时，当或时，当时，即函数递减区间是，递增区间是。若时，当或时，当时，即函数递减区间是，递增区间是。综上，若时，函数的递减区间是，无递增区间；若时，函数的递减区间是，递增区间是；若时，函数的递减区间是，递增区间是。6分（3）当时，设函数，则，设，当时，为增函数，在为增函数，在区间上递增，函数在上的值域为，在上至少有两个不同的根，8分即方程在上至少有两个不同的根，记（，则，在恒正，在区间上单调递增，要使在上有两个不同的根则必存在使得，函数在区间上单调递减，在上单调递增，且同时满足 由式得， 10分由得代入得，化简得设，（）则，当时，在上单调递增，又的解集为，函数的导函数在上恒大于0，函数在上单调递增，又 即实数的取值范围是 12分又当时，在区间上存在即方程在区间和上各有一个实根。综上所述：实数的取值范围是 14分（注：若用分离参数酌情给分）。
