1、25.3 用频率估计概率（肖莲琴）一、教学目标（一）学习目标1通过掷硬币、掷图钉，经历猜测、试验、收集数据、分析结果的过程，体会当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的意识2在生活实际问题中进一步体会利用频率的集中趋势估计概率，发展学生应用数学的能力（二）学习重点通过试验操作理解频率的稳定性.（三）学习难点能根据频率的集中趋势估计概率，并理解概率与频率之间的关系.二、教学设计（一）课前设计1预习任务（1）频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值_称为事件A发生的频率概率：刻画事件A发生的可能性 大小 的数值称为事件A发生的概率（2）掷一
2、枚质量均匀的硬币时会出现 正面向上 和 反面向上 两种结果，这两种结果发生的可能性是 一样的 准备一枚均匀的一元硬币，随机掷10次，并将你的结果记录在下表中：抛掷次数n10“正面向上”的频数m“正面向上”的频率（3）阅读教材第142页144页“练习”以前的内容，再填空：随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的 概率 2预习自测（1）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：抽
3、取的体检表数n501002004005008001000120015002019色盲患者的频数m37132937556985105138色盲患者的频率m/n0.0600.0700.0650.0730.0740.0690.0690.0710.0700.069根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为（ ）A0.06 B0.07 C0.075 D0.08【知识点】频率的稳定性【解题过程】解：观察表格中频率的变化规律，当试验次数较大时，频率稳定在0.07附近，因此可以估计男性患色盲的概率为0.07.【思路点拨】并观察频率的变化规律【答案】B（2）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）A频率就是
4、概率B频率等于概率C当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近D因为掷硬币出现正面向上的概率是0.5，所以抛掷一枚均匀硬币10次，一定出现5次正面向上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：A频率是试验值，由试验结果决定；概率是理论值，由事件本质决定，因此说法错误；B多次重复试验中频率稳定在概率附近，不一定相等，因此说法错误；C在多次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，说法正确；D试验次数较少，偶然性较大，因此说法错误.【思路点拨】理清频率与概率的区别与联系：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是
5、个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的大小在多次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，因此可以用多次重复试验中的频率估计概率【答案】C（3）在一个不透明的袋子里装有除颜色以外均相同的8个黑球，4个白球，若干个红球，每次摇匀以后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中的红球有（ ）个.A9 B8 C7 D6【知识点】频率估计概率【解题过程】解：设袋子中红球有x个，由题意可得，摸到红球的概率为0.4，解得x8【思路点拨】大量重复试验中，摸到红球的频率稳定于0.4，因此可以推测摸到红球的概率也为0.4，再根据概率的计算公式可
6、得红球数量【答案】B（4） 某乳业集团位于内蒙古天然草场的养牛基地共有4500头牛，饲养员为了了解清楚公牛和母牛的比例，随机捕捉了200头牛做调查，发现其中母牛有180头，请估算该养牛基地共有（ ）头公牛.A500 B4050 C3200 D450【知识点】频率与概率的关系【解题过程】解：在随机捕捉的200头牛中公牛数量为200-180=20头，则估计该养牛场公牛占比为20200100%=10%，估计公牛总量为450010%=450头.【思路点拨】随机样本中的公牛比例与整个养牛基地的公牛比例近似相等.【答案】D（二）课堂设计1知识回顾（1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果
7、出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率（2）我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.2问题探究探究一 通过频率估计概率（，）活动 以旧引新老师提问引入：周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是老师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样老师很为难请大家帮老师想一个公平的办法，来决定把这张票给谁学生：抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、老师对学生较好的想法予以肯定，并从中抽选出掷硬币的方法师追问：为什么要用掷硬币的方法呢？生答：掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大师问：用掷硬币的方法分配
8、球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上”还是“反面向上”，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的但是，我们的直觉是可靠的吗？掷硬币出现“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的吗？有什么方法可以验证呢？活动 大胆操作，探究新知掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势师问：课前，我们每个同学都进行了掷硬币的试验，并计算了“正面向上”的频率，你有什么发现呢？汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？现在，我们就将每个组掷硬币的数据累计到excel表格中（
9、见附件1）：抛掷次数n50100150200250300350400“正面向上”的频数m“正面向上”的频率根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“正面向上”的频率有什么规律？学生观察折线统计图生1答：频率约等于0.5生2答：试验次数比较小时，频率波动比较大，但试验次数较大时，频率比较稳定生3答：随着试验次数的增大，频率稳定在0.5的附近【设计意图】从学生们熟悉的掷硬币活动入手，既简单易操作，且更容易使学生看出频率稳定在0.5的附近，也即是概率的附近活动 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率的变化趋势师问：可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“
10、正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？师问：（拿出一枚图钉）大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少吗？生答：不知道（若有回答“针尖向上”概率为0.5的，需要老师及时引导由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出现的可能性不一样大）师问：你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？学生小组讨论，设计方案：类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率小组合作，得到抛掷50次图钉的数据老师累计全班数据到excel表格中
11、（见附件2）：抛掷次数n50100150200250300350400“针尖向上”的频数m“针尖向上”的频率根据数据自动生成折线统计图：师问：随着试验次数的增加，“针尖向上”的频率有什么规律？学生观察折线统计图生1答：频率约等于生2答：试验次数比较小时，频率波动比较大，但试验次数较大时，频率比较稳定生3答：随着试验次数的增大，频率稳定在的附近【设计意图】生活中有很多等可能性事件，不用试验也可以通过列举法理论分析出它发生的概率，但也有很多类似掷图钉的事件，它们不是等可能性试验，那它们发生的概率该如何得到呢？因此设计了本活动，鼓励学生合作探究，通过不熟悉的掷图钉活动，进一步感受当试验次数很大时，频
12、率会稳定在一个固定的值的附近，因此可以用大量重复试验的频率估计概率总结：（1）随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率（2）概率与频率之间是有区别和联系的：区别：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的大小联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去
13、估计它的概率（3）用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大探究二 频率估计概率在生活实际问题中的应用活动 基础性例题例1 一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均相同，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，则下列说法正确的是（ ）A小明从袋子中取出白球的概率是1B小明从袋子中取出黄球的概率是0C这次试验中，小明取出白球的频率是1D由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A小明从袋子中取出白球的概率是，故A选项错误；B小明从袋子中取出黄球的概率是，故B选项错误；C这次试
14、验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故C选项正确；D仅进行了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故D选项错误【思路点拨】本题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率不能将频率、概率混为一谈【答案】C练习 已知抛一枚普通硬币掷得反面向上的概率为，它表示（ ）A连续抛掷硬币两次，一定
15、是一次正面朝上，一次反面朝上B每抛掷硬币两次，就一定有一次反面朝上C连续抛掷硬币200次，一定会出现100次反面朝上D大量反复掷硬币，平均每两次会出现一次反面朝上【知识点】频率与概率的关系【解题过程】A掷两次硬币，偶然性较大，不一定是一次正面朝上，一次反面朝上，故A选项错误；B每抛掷硬币两次偶然性较大，不一定有一次反面朝上，故B选项错误；C连续抛掷硬币200次，试验次数较大，会出现100次左右的反面朝上，但也不能确定是100次，故C选项错误；D大量反复掷硬币，出现反面朝上的频率应该会稳定在0.5的附近，即平均每两次会出现一次反面朝上，故D选项正确【思路点拨】【答案】D例2 小颖和小红两位同学在
16、学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，她们共做了60次试验，试验的结果如下表：朝上的点数123456出现的次数798111510（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）小颖说：“根据试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”小颖和小红的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】（1）“3点朝上”出现的次数是8次，“3点朝上”的频率是；又“5点朝上”出现的次数是15次，“5点朝上”的频率是（2）小颖和小红的说法都不正确但是由于60次试验次数较小，频率并不一定稳定在概率的附近，
17、不能直接将此时的频率当成概率，因此小颖的说法是错误的如果掷600次，虽然试验次数较大，但频率也只是稳定在概率的附近，约为100次，不一定正好是100次，因此小红的说法也是错误的【思路点拨】本题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率【答案】见上面解题过程练习 为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明和小华做了多次试验，并将结果记录在下表：抛掷次数52050100200针尖着地的频数29234589针尖着地的频率0.40.450.45（1）分别计算抛掷次数为50次和200次时，针尖着
18、地的频率；（2）根据计算结果，小明认为：“抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45”，小华认为：“每抛掷100次这种图钉，一定出现45次针尖着地”你认为他们的说法正确吗？为什么？【知识点】频率的计算；频率与概率的关系【解题过程】（1）抛掷50次时，“针尖着地”的频数是23，“针尖着地”的频率是；又抛掷200次时，“针尖着地”的频数是89，“针尖着地”的频率是（2）小明的说法正确，因为根据表格中频率的变化趋势，当试验次数增加时，频率稳定在0.45的附近，因此可以估计抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45；小华的说法错误，因为抛掷这种图钉，针尖着地的概率大约是0.45，所以每抛掷100次这种
19、图钉，只能说大约出现45次针尖着地，不能说一定是45次【思路点拨】本题一定要弄清频率与概率的关系，理解它们的区别与联系：频率不能简单等同于概率，但试验次数较大时，频率稳定在概率的附近，因此可以用反复试验后的频率估计概率【答案】见上面解题过程【设计意图】对于初学者而言，“频率”、“概率”两个词只有一字之差，容易混为一谈，但其实二者是既有区别又有联系的通过例1、例2及两个练习题，使学生充分理解频率和概率两个概念的含义活动2 提升型例题例1 下表是某机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面朝上的频数和频率.抛掷次数550300800320060009999出现正面朝上的频数13113540
20、8158029805006出现正面朝上的频率20%62%45%51%49.4%49.7%50.1%（1）由这张频数和频率表可知机器人抛掷完5次时，得到_次正面朝上，正面朝上出现的频率是_（2）由这个频数和频率表可知机器人抛掷完9999次时，得到次正面朝上，正面朝上出现的频率约是（3）观察上面表格中频率的变化趋势，你能发现什么？【知识点】用频率估计概率【解题过程】（1）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完5次时，有1次正面朝上，正面朝上的频率是20%；（2）直接根据表格中的数据可知，机器人抛掷完9999次时，有5006次正面朝上，正面朝上的频率是50.1%；（3）观察频率的变化趋势发现：当机器
21、人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比较稳定，稳定在50%的附近【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性【答案】（1）1 20%（2）5006 50.1%（3）观察频率的变化趋势发现：当机器人抛掷次数较小时，出现正面朝上的频率波动较大；当机器人抛掷次数较大时，出现正面朝上的频率比较稳定，稳定在50%的附近练习 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表
22、：实验次数20406080100120140160“兵”字面朝上的频数14384752667888“兵”字面朝上的频率0.70.450.630.590.520.560.55（1）请你数据表补充完整；（2）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？【知识点】用频率估计概率【解题过程】（1）试验总次数为40，而“兵”字面朝上的频率为0.45，“兵”字面朝上的频数400.4518又试验总次数为120，而“兵”字面朝上的频数为66，“兵”字面朝上的频率661200.55（2）观察表格中频率的变化趋势，随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率逐渐稳
23、定在0.55的附近，因此估计“兵”字面朝上的概率为0.55【思路点拨】试验次数较大时的频率具有稳定性，因此可以用大量重复试验下的频率估计概率【答案】（1）18 0.55（2）0.55例2 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为_【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法【解题过程】由于通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，所以，摸到红球的概率就为20%因为，一共有a个除颜色外完全相同的球，其中只有3个红球所以，摸到
24、红球的概率为解得：a15所以，a的值为15【思路点拨】抓住等可能性随机事件概率既可以通过大量重复试验得到，也可以通过古典概型的计算公式得到【答案】15练习 为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为_个【知识点】用频率估计概率、古典概型概率计算方法【解题过程】因为多次重复后发现红球出现的频率约为0.2所以，摸到红球的概率就为0.2设一共有x个白球，其中有5个红球，所以一共有(x5)个球所以，摸到红球的概率为0.2解得：x20所以，有20个白球【
25、思路点拨】古典概型的概率可以根据概率的计算公式求，也可以根据大量重复试验所得的频率来求，这样始终就存在一个等量关系，利用这个等量关系，往往可以求一些未知的数量.【答案】20【设计意图】通过已知数量直接求频率、用频率估计概率和逆用概率公式求数量两个方向的例题及练习题目，进一步加深学生对频率、概率的理解，为学生能顺利解决下一组例题奠定基础活动3 探究型例题例1 某园林公司要考察某种幼苗在一定条件下的移植存活率，应采用什么具体做法？（1）如图是一张模拟统计表，请补全表中的空缺，并完成表下的填空：移植总数n成活数m成活的频率（结果保留小数点后三位）1080.80050472702350.8704003
26、69750662150013350.890350032030.915700063359000807314000126280.902（2）从上表可以发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为14000时，成活的频率为0.902，于是估计该幼树移植成活的概率为_（3）若某校需要移植500棵该种幼树，估计需要向这个园林公司购买多少棵幼树？（结果保留整数）【知识点】设计频率统计方案，用频率估计概率【解题过程】设计的方案为：在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率随着移植数n越来越大，成活频率会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值（1）直接用
27、成活数m除以移植总数n，即可得到对应的频率，因此空白表格从上往下依次为：0.940 0.923 0.883 0.905 0.897（2）观察频率的变化趋势发现，随着移植数的增加，幼苗移植成活的频率越来越稳定在0.9的附近，因此可以估计该幼树移植成活的概率为0.9；（3）根据表格，估计该幼树移植成活的概率为0.9假设需要购买x课该种幼树，则由题意可得：解得：需要购买556课该种幼树【答案】见上面解题过程练习：某地区局要考察一种树苗移植的存活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行了统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：（1）这种树苗成活的频率稳定在_，成活的概率估计值为_
28、（2）该地区已经移植这种树苗5万棵估计这种树苗成活了_万棵；如果该地区计划成活18万棵这样的树苗，那么还需要移植这种树苗约多少万棵？【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】（1）观察统计图可以发现当移植数量较多时，成活的频率稳定在0.9的附近，因此估计这种树苗的成活概率为0.9；（2）50.94.5（万棵）所以估计这种树苗成活了4.5万棵184.513.5（万棵）还需移植13.50.915（万棵）【思路点拨】首先观察统计图估计出这种树苗成活的概率为0.9，然后利用成活概率和移植总数就可以计算出成活的树苗，也可以用计划成活的树苗和概率求出应移植的树苗【答案】（1）0.9 0.9 （2）
29、4.5 15万棵例2 某水果公司以2元/kg的成本价新进10000kg的柑橘销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成此表柑橘总质量n/kg损坏柑橘质量m/kg柑橘损坏的频率（结果保留小数点后三位）505.500.11010010.500.10515015.1520019.4225024.2530030.9335035.3240039.2445044.5750051.54如果公司希望这批柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】
30、表格：0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103根据表格中的频率变化规律，可以估计柑橘损坏的概率为0.1，即柑橘完好的概率为0.9，所以在10000 kg的柑橘中完好柑橘的质量为100000.99000（kg）完好柑橘的实际成本为（元/kg）设每千克柑橘的售价为x元，则解得：因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元就可以获利5000元【思路点拨】先计算柑橘损坏的频率，再观察频率的变化趋势，根据频率估计出损坏柑橘的概率，得到销售商实际销售的完好的柑橘数量，计算出完好柑橘的实际成本，再根据利润为5000元建立方程即可【答案】见上面解题过程练习：某
31、制衣厂对该厂生产的名牌衬衫抽检结果如下表：抽检件数1020100150200300不合格件数013469不合格频率00.050.030.03（1）补全表格（结果保留2位小数）（2）若该制衣厂一共生产了1000件这种衬衫，且每件衬衫的成本价为80元，要使这批衬衫能获利17000元，那么在出售衬衣（除去不合格衬衣）时，每件衬衣的出厂价应定为多少元？【知识点】频率的计算与应用频率稳定性【解题过程】（1）根据频率的计算公式：频率不合格件数抽检件数41500.03， 93000.03（2）根据表格中的频率变化规律，可以估计这批衬衣不合格的概率为0.03，即合格的概率为0.97，所以在1000件的衬衣中合
32、格的衬衣有10000.97970（件）设在出售衬衣（除去不合格衬衣）时，每件衬衣的出厂价应定为x元，则由题意可得：970x10008017000解得：x100在出售衬衣（除去不合格衬衣）时，每件衬衣的出厂价应定为100元【思路点拨】观察不合格衬衣频率的变化趋势，根据频率估计出不合格衬衣的概率，得到这批衬衣合格的件数，再根据利润为17000元建立方程即可【答案】（1）0.03 0.03（2）100元【设计意图】频率、概率来源于生活，又服务于生活，通过树苗移植成活率、柑橘的定价问题，将频率、概率与实际生活联系起来，体现了用数学的思想3课堂总结知识梳理（1）生活中有一些随机事件发生的概率不能用列举法
33、得到，只能通过大量重复试验估计随机事件的频率；（2）当试验次数很大时，频率稳定在一个固定的数值附近，这个数值就是该事件发生的概率，但频率和概率不能简单的等同；（3）概率与频率之间的区别和联系：区别：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的大小联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率重难点归纳（1）通过大量重复试验，频率会稳定在概率的附近；（2）生产生活中，可以设计大量重复试验来估计随机事件的概率；（3）求随机事件的方法：列举法
34、（等可能性事件）、试验法（不等可能事件）（三）课后作业基础型 自主突破1在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（ ）A频率就是概率B频率与试验次数无关C概率会随着试验结果的变化而变化D随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【知识点】频率与概率的意义【解题过程】A频率不是概率，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，因此可以用多次重复试验的频率估计概率；B频率是一个试验值，它的大小直接由试验的次数决定C概率是一个理论值，由事件的本质属性决定，不会随着试验结果的变化而变化D说法正确【思路点拨】弄清楚频率与概率的区别和联系，即频率是试验值，概率是理论值，当试验次数很大时
35、，频率稳定在概率附近，因此可以用多次重复试验的频率估计概率【答案】D2为了看一种图钉落地后针尖着地的概率有多大，小明做了1000次试验，其中针尖着地的次数是480次下列说法错误的是（ ）A针尖着地的频率是0.48B针尖着地的概率约为0.48C若做100次这个试验，一定会出现48次针尖着地D若做100次这个试验，出现了40次针尖着地，那么再做一次这个试验，针尖着地的概率为0.48【知识点】频率与概率的意义、频率的稳定性【解题过程】A频率等于针尖着地的次数除以总次数，因此是正确的；B小明所做的试验次数较大，频率已稳定在概率附近，可以由此时的频率估计出概率，因此是正确的；C100次试验次数不多，且在
36、试验中会出现偶然因素，不一定是48次针尖着地，因此是错误的；D针尖朝上的概率是一个理论值，只与图钉的本质有关，不会因为前面掷图钉的结果而变化，因此是正确的【思路点拨】弄清频率与概率的区别和联系【答案】C3下列说法中正确的个数是（）不可能事件发生的概率为0；一个对象在试验中出现的次数越多，频率就越大；在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率A1 B2 C3 D4【知识点】频率与概率的意义、利用频率估计概率【解题过程】不可能事件发生的概率为0，正确；一个对象在试验中出现的次数越多，频率就越大，正确；在相同条件下，
37、只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确；收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频数，故错误.【思路点拨】利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确的选项【答案】C4某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：每批粒数n100300400600100020193000发芽的频数m9628438057194819022848发芽的频率0.9600.9470.9500.9520.9480.9510.949那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到0.01）【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】观察表格发现，当试验次数较大（如100
38、0、2019、3000粒）时，发芽的频率都稳定在0.95的附近，所以这种油菜籽发芽的概率是0.95【思路点拨】试验次数较大时的频率稳定在概率的附近【答案】0.955做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计发现结果只有“凸面向上”和“凹面向上”两种情况，其中“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为_【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】由于试验次数很大，可以估计“凸面向上”的概率约为0.44，由于只有“凸面向上”和“凹面向上”两种结果，因此“凹面向上”的概率约为10.440.56【思路点拨】先求出“凸面向上”的概率，再求“凹面
39、向上”的概率【答案】0.566一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_个【知识点】利用频率估计概率、古典概率的计算【解题过程】解：因为通过大量重复摸球试验后摸到红球的频率之为0.4所以，从这个袋子中摸到红球的概率约为0.4设红球的个数为x，则摸到红球的概率还可以表示为：0.4， 解得：x8，故红球有8个【思路点拨】古典概型的概率可以根据概率的计算公式求，也可以根据大量重复试验所得的频率来求，这样始终就存在一个等量关系，利用这个等量关系，往往可
40、以求一些未知的数量【答案】8能力型 师生共研7某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了多次重复试验下某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）A在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4【知识点】频率的稳定性，用频率估计概率【解题过程】A小明随机出的是“剪刀”的概率为，则多次重复试验下频率会稳定在附近，与折线统计图反映的情况不合；B一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀
41、后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，则多次重复试验下频率会稳定在附近，与折线统计图反映的情况不合；C暗箱中有1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球的概率为，则多次重复试验下频率会稳定在附近，与折线统计图反映的情况不合；D掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，则多次重复试验下频率会稳定在附近，与折线统计图反映的情况符合，故选D【思路点拨】本题需弄清每个选项中事件的概率，多次重复试验后的该事件出现的频率稳定在其概率的附近【答案】D8不透明的袋子中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，每次从袋中摸出1个小球，然后放回搅匀再摸，在摸球的试验中得到下表中的部分数据：摸球
42、次数n4080120160200240280320360400出现红球的频数m14233852678697111120136出现红球的频率0.350.320.330.350.35（1）将表格补充完整（结果精确到0.01）（2）在下图中画出折线图（3）观察折线图，你能发现什么？【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】首先根据频率计算公式计算出每个频率，再绘制出对应的折线统计图，观察折线统计图中频率的变化规律，发现随着试验次数增大，出现红球的频率逐渐稳定在摸到红球的理论概率的附近【思路点拨】大量重复试验时，摸到红球的频率稳定在摸到红球的理论概率附近【答案】（1）从左往右的空格依次为：0.
43、29 0.34 0.36 0.33 0.34（2）折线统计图如下：（3）随着试验次数增大，出现红球的频率逐渐稳定在摸到红球的理论概率的附近探究型 多维突破9为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，等这些做记号的鱼在池塘里充分游匀以后，再随机从鱼塘中打捞50条鱼如果在这50条中有5条鱼是有记号的，则估计该鱼塘中鱼的条数是多少？【知识点】用频率估计概率【解题过程】设鱼塘中鱼的总数量为x条，做了记号的鱼是100条从池塘中打捞到做记号的鱼的概率是当这些做记号的鱼在池塘里充分游匀以后，再随机从鱼塘中打捞50条鱼，其中做记号的鱼是5条，本次从池塘中打
44、捞到做记号的鱼的频率是由于此时频率约等于概率解得：x1000所以，估计池塘里有1000条鱼【思路点拨】本题抓住等量关系：“打捞时做记号的鱼的频率实际做记号的鱼的概率”即可【答案】100010小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC（如图所示），为了求其面积，下面在封闭图形ABC的内部画出了一个半径为1米的圆，在不远处向圆内投石子，并记录结果如下：掷石子次数50150300石子落在圆内（含圆上）的次数m144393石子落在阴影内的次数n2985186你能否帮助小明求出封闭图形的ABC的面积？试试看！【知识点】用频率估计概率【解题过程】解：根据表格，可以知道掷石子50次时，落在圆
45、内（含圆上）有14次，落在封闭图形ABC内共142943次，所以当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的频率为同理，投掷石子150次，当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的频率为投掷石子300次，当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的频率为观察频率的变化趋势发现，频率稳定在的附近，因此估计当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的概率为而根据面积，当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的概率为设封闭图形ABC的面积为x则解得：x所以，估计封闭图形ABC的面积为【思路点拨】虽然随着试验次数的增加，当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的频率越来越稳定在概率的附近，由此可
46、以先估计出当石子落在封闭图形中时，落在圆内（含圆上）的概率，而作为几何概型，它的概率还等于，由此可以建立关于封闭图形ABC面积的方程【答案】自助餐1在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中试验相对科学的是（）A甲组 B乙组 C丙组 D丁组【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】用试验的方法估计概率必须要求是大量重复试验，因此试验次数越多越好，很显然200次试验相对要科学一些【思路点拨】随着试验次数的增加，频率越来越稳定在概率的附近【答案】D2从一定高度掷一个瓶盖100次，落地后盖面朝下55
47、次，则下列说法错误的是（ ）A盖面朝下的频数是55 B盖面朝下的频率是C盖面朝下的概率不一定是 D盖面朝下的概率一定是【知识点】频数、频率、概率【解题过程】从一定高度掷一个瓶盖100次，落地后盖面朝下55次，则盖面朝下的频数是55，所以A选项正确；盖面朝下的频率是，所以B选项正确；此时只能说盖面朝下的频率稳定在盖面朝下的概率附近，因此盖面朝下的概率不一定是，C答案正确【思路点拨】用大量重复试验得到的频率只能估计概率，不能得到概率的精确值【答案】D3现有50张大小、质地及背面图案均相同的西游记任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽通过多
48、次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为_【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】由于多次试验后，抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则可以估计绘有孙悟空这个人物卡片的概率约为0.3，再根据总卡片数50，即可求出绘有孙悟空这个人物卡片的卡片数：500.315（张）【思路点拨】大量重复试验，频率会稳定在概率的附近【答案】154在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种颜色的球共120个，它们除了颜色外其余均相同小刚经过多次重复摸球试验后发现其中摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45的附近，则口袋中的白球数量可
49、能是_【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】由于多次重复摸球试验后发现其中摸到红球、黑球的频率分别稳定在0.15和0.45的附近，则可以估计摸到红球、黑球的概率论分别是0.15和0.45那么摸到白球的概率为10.150.450.4，所以白球的数量为1200.448（个）【思路点拨】大量重复试验，频率会稳定在概率的附近，先得到红球和黑球的概率，再得到白球的概率即可【答案】485某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数n20401002004001000“射中九环以上”的频数m153378158321801“射中九环以上”频率（1）计算表格中相应的“射中九环以上”频率（结果
50、保留小数点后两位）；（2）这些频率具有怎样的稳定性？（3）根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”概率是多少？（结果保留小数点后一位）【知识点】多次重复试验，用频率估计概率【解题过程】（1）分别用频率的计算公式计算“射中九环以上”频率；（2）观察频率的计算结果，发现随着射击次数的增加，频率稳定在0.80的附近；（3）根据（2）问的结果可以估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.8【思路点拨】大量重复试验时，“射中九环以上”频率稳定在“射中九环以上”概率附近【答案】（1）0.75 0.83 0.78 0.79 0.80 0.80（2）观察频率的计算结果，发现随着射击
51、次数的增加，频率稳定在0.80的附近；（3）0.86樱桃小丸子想知道自家鱼塘中鱼的数量，她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼；放回后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼；再放回后，第三次又捞出100条鱼，其中有5条带标记的鱼请你帮她估计鱼塘中鱼的数量是多少？【知识点】利用频率估计概率【解题过程】解：三次捕鱼发现带有标记的鱼的频率约为0.05估计池塘里带有标记的鱼的概率为0.051000.052019（条）答：估计池塘里鱼的数量为2019条【思路点拨】多次捕鱼的目的是观察频率稳定在哪个值的附近，用这个值作为概率才比较准确【答案】2019条
