1、河南省豫西名校2019-2020学年高二数学上学期第一次联考试题（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在中，角，所对的边分别为，若，则（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】在中，由正弦定理得，所以，故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。2.已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2+a5a6+a3，则S7（）A. 2B. 7C. 14D. 28【答案】C【解析】【分析】先计算,在利用公式求出【详
2、解】2+a5a6+a3 ，,选C.【点睛】本题考查等差中项，属于简单题。3.当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设竹竿与地面所成的角为，影子长为x m由正弦定理，求得，即可得到答案【详解】设竹竿与地面所成的角为，影子长为x m由正弦定理，得，所以，因为，所以当，即时，x有最大值,故竹竿与地面所成的角为时，影子最长故选A【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，着
3、重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题4.在等比数列中，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】将 转化为关于 和q的算式，计算出q即可求出【详解】因为q4，所以q8+q420，所以q44或q45（舍），所以q22，1，所以故选：B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础5.已知数列通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为A. 14B. 13或14C. 12或11D. 13或12【答案】D【解析】【分析】由题可得：数列是以为首项，公差的等差数列，即可求得，利用二次函数的性质即可得解。【详解】因为，所以数列
4、是以为首项，公差的等差数列，所以由二次函数的性质可得：当或时，最大故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的前项和公式，还考查了二次函数的性质及计算能力，属于中档题。6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，进而得到，由此求得正确选项.【详解】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，由正弦定理得，由正弦定理有，故故选B.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查两角和的正弦公式以及三角形内角和定义，属于基础题.7.数列中，则（）A. 32B. 62C. 63
5、D. 64【答案】C【解析】【分析】把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.【详解】数列中，故，因为，故，故，所以，所以为等比数列，公比为，首项为.所以即，故，故选C.【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：（1），取倒数变形为；（2），变形为，也可以变形为；8.设的内角所对的边分别为，且，已知的面积，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理化简已知的等式得到，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用三角形面积公式即可得解的值【详解】，变形为：，又为三角形的内角，即，为三角形的内角
6、，可得：，解得：故选：D【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题9.已知等差数列的公差不为零，为其前项和，且， 构成等比数列，则（）A. 15B. -15C. 30D. 25【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前项和公式求解【详解】解：设等差数列公差为，由题意，解得 故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，是基础题10.在中，角的对边分别是，若，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C
7、【解析】【分析】在中利用正弦定理和二倍角公式能求出角，再依据余弦定理列出关于角的关系式，化简即得。【详解】，由正弦定理可得，即.由于，.，.又，由余弦定理可得，.故选C.【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形以及三角恒等变换。11.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A. 41B. 45C. 369D. 321【答案】C【解析】【分析
8、】推导出，由此利用等差数列求和公式能求出结果【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，故.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的前项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质来解题12.在中，已知角的对边分别为，若，且，则的最小角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理求出和的表达式，由，结合正弦定理得出的表达式，利用余弦定理得出的表达式，可解出的值，于此确定三边长，再利用大边对大角定理得出为最小角，从而求出。【详解】，由正弦定理，即，解得，由大边对大角定理可知角是最小角，所以，故选：D。【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，
9、考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.在数列中，则_【答案】【解析】【分析】利用递推公式可验证出数列为周期为的周期数列，从而可得.【详解】令，则令，则令，则令，则令，则令，则数列为周期为的周期数列 本题正确结果：【点睛】本题考查根据递推公式判断数列的性质的问题，关键是能够通过递推公式确定数列为周期数列，从而利用周期将所求值进行化简.14.记为等差数列的前n项和，公差，成等比数列，则_【答案】-8【解析】【分析】根据等比中项的性质得到，将其转化为来表示，解方程求得的值，
10、进而求得的值.【详解】等差数列的公差，成等比数列，可得，即为，解得，则故填：.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算，考查等差数列前项和的求法，属于基础题.15.在中，内角，所对应的边长分别为，且，则的外接圆面积为_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得到，再根据计算得到答案.【详解】由正弦定理知：，即，即.故.故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16.设锐角三个内角所对的边分别为,若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围.【详解】由及余弦定理可得，即，所以又为锐
11、角三角形，所以由正弦定理可得由且可得，所以，所以，即故的取值范围为故答案为：【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前n项和为，且，（1）求的通项公式；（2）若，且，成等比数列，求k的值【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解（2）由（1），求得，再根据，成等比数列，得到
12、关于的方程，即可求解【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得所以数列的通项公式为（2）由知，因，成等比数列，所以，即，解得【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18.已知数列满足，其前项和为，当时，成等差数列.（1）求证为等差数列；（2）若，求.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)根据等差数列的概念得到，变形化简得到 ，则，得证；（2）根据第一问得到的结论得到，即，由得，即，联立两式求解.【详解】（1）当时，由，成等差数列得
13、：，即，即 ，则 ，又，故是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列公差为1，由，得，即，由得，即，联立解得：.【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用,以及等差数列的通项公式的应用.19.等差数列前项和为，且，（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据等差数列中，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用（1），由“累加法”可得，利用裂项相消法求和即可得结果.【详解】（1）等差数列公差设为，前项和为，且，可得，解得，可得；（2）由，可得，则前项和【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式，以及裂项
14、相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20.在中,角所对的边分别为,满足（1）求值；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值（2）由（1）可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求的范围【详解】（1）因为所以，即因为，所以又因为解得
15、：.（2），可得，由余弦定理可得：，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题21.已知数列前n项和，点在函数的图象上(1)求的通项公式；(2)设数列的前n项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将点的坐标代入函数的方程得到.利用，可求得数列的通项公式为.（2）利用裂项求和法求得.为递增的数列，当时有最小值为，所以，解得.试题解析：（1）点在函数的图象上，.当时，-得.当时，符合上式.（2）由（1）得，数列
16、单调递增，中的最小项为.要使不等式对任意正整数恒成立，只要，即.解得，即实数的取值范围为.点睛:本题主要考查函数与数列，考查已知数列前项和，求数列通项的方法，即用公式.要注意验证当时等号是否成立.考查了裂项求和法，当数列通项是分数的形式，并且分母是两个等差数列的乘积的时候，可考虑用裂项求和法求和.还考查了数列的单调性和恒成立问题的解法.22.已知中，角的对边分别为（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由成等差数列，且公差为，可得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设，利用外接圆面积为，求得外接圆的半径根据正弦定理，利用表示出三边，将周长表示为关于的函数，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.【详解】（1）依次成等差数列，且公差为 ，由余弦定理得：整理得：，解得：或又，则（2）设，外接圆的半径为，则，解得：由正弦定理可得：可得：，的周长又 当，即：时，取得最大值【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题
