1、 数学试题1.已知集合，则_.2.复数满足，则复数的虚部为_.3.同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具），点数之和是5的概率是_.4.为了检查某超市货架上的袋装奶粉是否合格，要从编号依次为01到55的袋装粉中抽取5袋进行检验，现将55袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用系统抽样方法确定选取5袋奶粉的编号，若第4组确定的号码为36，则第1组中抽出的号码为_.5.执行如图所示的程序流程图，若输入，则输出的值为_.6.若双曲线的方程，且双曲线的焦距为6，则_.7.在直角坐标系中，点的坐标满足：，则的最大值为_.8.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则_.9.已
2、知均为锐角，且，则_.10. 在中，边，所对的角分别为，则的最大值为_.11.已知方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为_.12.如图，已知为椭圆的左焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴的交点，又为线段的中点，若，则该椭圆离心率的取值范围是_.13.把形如（均为正整数）表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前项的和，称作“对的项划分”.例如把9表示成，称作“对9的3项划分”，再如把64表示成，称作对“64的4项划分”.据此，若的项划分中第5项为281，则_.14.已知函数在处的切线与该曲线的另一个交点为（与原点不重合），若，且是以为底边的等腰三角形，则_.二、解答题 15.（本小
3、题满分14分）如图，在中，是边上一点，且，.（1）求；（2）求及.16.（本小题满分14分）如图，容积为的圆锥形漏斗（无底面）的高为，侧面积为.（1）试将圆锥侧面积用高的关系式表示出来；（2）为了使制造该漏斗的侧面用料最省，问锥形漏斗的高取值是多少？（注：，其中为圆锥底面面积，为圆锥的高度.）17.（本小题满分14分）如图，已知单位圆（为直角坐标原点），是圆上的动点，点在直线上，且为正三角形.（1）若点是第一象限的点，且，求点的坐标；（2）求的最小值.18.（本小题满分16分）如图，已知椭圆，椭圆，其中，为常数且.（1）求证：椭圆与的离心率相等；（2）已知直线与交于，与交于，求证：为定值（与值
4、无关），并求出这个定值；已知椭圆，的离心率均为，椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于，且，若，求与的关系.19.（本小题满分16分）已知数列的前项和为，.（1）若数列为等差数列，求证：数列为等差数列；（2）若两个数列，均为等比数列，且，求数列的通项公式.20.（本小题满分16分）已知（为常数）.（1）当时，求函数的单调性；（2）当时，求证：；（3）求函数零点的个数.21. 已知数列 满足（1） 求 并猜想出数列的通项公式；（2） 用数学归纳法证明（1）的猜想22.（本小题满分10分）选修4-4已知直线（为参数）与椭圆（为参数）交于两点.（1）求直线和椭圆的直角坐标方程；（2）求值.23. （本小题
5、满分10分）已知两个城市之间有7条网线并联，这7条网线能够通过的信息量分别为1,2,2,2,3,3,3，现从中任选三条网线，设通过的信息总量为，若通过的信息总量不小于8，则可以保持信息通畅.（1）求线路通畅的概率；（2）求线路通过信息量的概率分布及数学期望.24. （本小题满分10分）已知二项式.（1）求展开式中的中间项；（2）化简：.20162017学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）参考答案及评分标准1 2 -1 3 43 5 6 1 7 5 81269 -2 10 11 12 13 17 14 15解：（1）在中，由，且得，. 2分所以=. 6分（2）由，且得，. 8分所以=. 10
6、分又，所以， 12分在中，由正弦定理得，. 14分（评讲建议：将第（2）改成求）16解： 记圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，故 2分（1）因为，所以. 6分（2）记，而， 8分当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以，是的极小值点，也是最小值点，故. 10分因此，当时，. 12分答：当锥形漏斗的高时，侧面用料最省为 14分17解： 由题意，两点的坐标为. 2分（1）设点的坐标为，则有，且，. 4分由已知得， 6分解得，或 ，即的坐标为或. 8分（2）设点的坐标为，则，且，. 10分所以则有，即，即证. 2分（2）证明：联立得，则 ；(*) 4分同理， . (*) 6分由得，代入（*）得，.
7、所以，=. 8分由得，和，从而由(*)得.由题意可设直线的方程为：， 10分设点和的坐标分别为和联立，得，则，. 12分=. 14分由得，即. 16分（评讲建议：条件“椭圆，的离心率均为”是为了简化计算而设计的，实际上最后的结果与其无关，若用焦半径公式直接求弦长更简洁，但需要证明焦半径公式才能使用）19（1）证明：因为数列为等差数列，设（为常数，），即， 2分当时，又，符合上式，所以， 4分则（常数），所以，数列为等差数列. 6分（2）解：因数列均为等比数列，则有和均成等比，即 ， 8分亦即，解得或. 10分 若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，从而，此时，故数列也为等比数列，符合
8、题意. 12分若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，所以，从而， 14分当时，从而，故数列不为等比数列，不符合题意.综合可知，. 16分20（1）解：当时，所以， 当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减 2分（2）证明：记，由题意即证，当时， 又， 4分记，则，故在上单调递减，则， 6分所以在上恒成立，则在上单调递减，即证 8分（3）解：由题意，若，则，故在上单调递增，又因为，且由零点存在定理知，在上有且只有一个零点 10分 若，当，则在上单调递增；当，则在上单调递增所以，是在上的极大值点，也是最大值点，（i）当时，即，恒成立，则在上无零点；（ii）当时，即，则在上有一个零点；（ii
9、i）当时，即， 12分而当时，有，理由如下：令，则，所以在上单调递增，即，由（2）知，而，由在上的单调性及零点存在定理知，分别在和上各有一个零点，即在上有两个零点14分综上所述，当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点；当时，在上没有零点16分21. 解： （1）由，同理可求，猜想 -5分（2）证明：当时，猜想成立.假设当时，猜想成立，即，则当时，有，所以当时猜想成立综合，猜想对任何都成立. -10分评卷注意：在归纳如果没有扣1分.22解：（1）直线的方程为：，椭圆的方程为：4分（2）设，联立得，则有，所以 10分23解：（1）记“线路通畅”为事件，则事件包含或两种事件，且它们互斥，因为；所以 4分（2）由题意，可能的取值为5,6,7,8,9，； 8分其分布表如下：56789所以，的数学期望为： 10分24（1）记展开式的第项为当为奇数时，中间项为和，当为偶数时，中间项为 2分（注：没有分奇偶讨论，本问不得分）（2）由题意， 在等式两边分别对求导，得： ， （*）令，则有，所以 （*） 4分再在（*）两边分别对求导，得 6分再令，则有；由（*）得， 8分所以，= 10分
