1、第3讲 第1课时 导数与不等式的证明A组基础巩固1当x1时，x2ln x1时，g(x)0，所以g(x)在(1，)上单调递增，当x1时，g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln x0，x10，所以f(x)0，因此f(x)在1，)上单调递增，所以f(x)f(1)0，f(x)min0.(2)证明：原不等式等价于f(x)e1x，即f(x).令g(x)xex1，x1，g (x)1ex10，所以g(x)在1，)上单调递减，g(x)g(1)0，g(x)max0.结合(1)可知ax2ln xa0恒成立，即ax2ln xe1xa0恒成立3已知函数f(x)ex，当x2时，求证：f(x)ln(x2)证明设g(x)
2、f(x)(x1)exx1(x2)则g(x)ex1，当2x0时，g(x)0时，g(x)0，即g(x)在(2,0)上单调递减，在(0，)上单调递增，于是当x0时，g(x)ming(0)0，因此f(x)x1(当且仅当x0时取等号)，令h(x)x1ln(x2)(x2)，【卡壳点】利用x1作为中间量，进行放缩则h(x)1，则当2x1时，h (x)1时，h(x)0，即有h(x)在(2，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是当x1时，h(x)minh(1)0，因此x1ln(x2)(当且仅当x1时取等号)，所以当x2时，f(x)ln(x2)【易错点】注意取等号的条件4当xye1时，求证：exln(y1)e
3、yln(x1)证明xye1，x1y1e，即ln(x1)ln(y1)1，欲证exln(y1)eyln(x1)即证明，令g(x)，则g(x)，显然函数h(x)ln(x1)在(e1，)上单调递增，h(x)10，即g(x)0，g(x)在(e1，)上单调递增，xye1时，g(x)g(y)，即，当xye1时，exln(y1)eyln(x1)成立B组能力提升1已知函数f(x)x2e2x2.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0,2时，求证：f(x)2x28x5.解析(1)f(x)2e2x2(x2x)，f(1)4，f(1)1，则曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y14(x1
4、)，即y4x3.(2)证明：当x0,2时，令g(x)x2e2x22x28x5，则g(x)2e2x2(x2x)4x8，令h(x)g(x)，则h(x)2e2x2(2x24x1)40，所以g(x)在0,2上单调递增，且g(1)0，所以g(x)在0,1上单调递减，在(1,2上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)0，所以g(x)0，即f(x)2x28x5.2(2024广西柳州毕业班摸底)已知函数f(x)axxln x在xe2处取得极小值(1)求实数a的值；(2)当x1时，求证：f(x)3(x1)解析(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1，因为函数f(x)在xe2处取得极小值，所以
5、f(e2)0，即aln e210，所以a1，所以f(x)ln x2，当f(x)0时，xe2，当f(x)0时，0x0)g(x)ln x1，由g(x)0得xe.由g(x)0得xe，由g(x)0得0x0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)3(2024乌鲁木齐市实验学校高三上学期1月月考)函数f(x)exxa，aR.(1)求函数yf(x)的单调区间及极值；(2)若x1，x2是函数yf(x)的两个不同零点，求证：x1x22(1a)解析(1)f(x)exxa定义域为R，f(x)ex1，令f(x)0，则x0，令f(x)0，则x0，f(x)递减区间为(，0)，递增区间为(0，)，
6、f(x)极小值f(0)1a，无极大值(2)证明：由(1)知x时，f(x)；x时，f(x)，要使f(x)有两个不同零点x1，x2，则f(0)1a1，不妨设x100)，则g(x)f(x)f(x)exex2，由于exex2(x0)，故g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，而x20，g(x2)g(0)0，f(x2)f(x2)0即f(x2)f(x2)，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，x1，x2(，0)且f(x)在(，0)上单调递减，x1x2，即x1x21)，下面先证明F(x)2，F(x)(12x)e22x1，令h(x)(12x)e22x1，x1，h(x)(4x4)e22x0，F(x)在(1，)上单调递增，F(x)F(1)0，F(x)在(1，)上单调递增，F(x)F(1)2，即xe22xx2在x1总成立，f(x2)ex2x2a0，aex2x2，又f2(1a)x2e22ax2(22ax2)aex2e22ex2ex22，ex21，由F(x)2知ex2e22ex2ex22，则f2(1a)x20f(x1)，又a1,2(1a)x20且x10及f(x)在(，0)上单调递减，2(1a)x22(1a)
