1、专题3.4 乘法公式（知识解读）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，
2、而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2知识点3：完全
3、平方公式完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式；.【典例分析】【考点1：平方差公式】【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x）（1x）；（2）（a+3b）（a3b）；（3）（3+2a）（32a）；（4）（x2y）（x2y）【解答】解：（1）原式1x2；（2）原式a2（3b）2a29b2；（3）原式32（2a）294a2；（4）原式【变式1-1】计算：（ab）（a+b）【解答】解：原式a2b2【变式1-2】
4、（2m+n）（2mn）【解答】解：（2m+n）（2mn）4m2n2【变式1-3】（唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（）A（x+y）（x+y）B（x+y）（xy）C（x+2）（2+x）D（2x+3）（3x2）【答案】A【解答】解：（x+y）（x+y）（x+y）（xy）；选项A符合题意；（x+y）（xy）（xy）（xy）（xy）2，选项B不符合题意；（x+2）（2+x）（x+2）2，选项C不符合题意；（2x+3）（3x2）不是（a+b）（ab）的形式，选项D不符合题意，故选：A【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022101103【解答】解：（1）原式（1001）2100
5、221001+110000200+19801；（2）原式1022（1021）（102+1）10221022+11【变式2-1】计算2021220202022的结果是（）A1B1C0D2202121【答案】A【解答】解：原式20212（20211）（2021+1）20212（202121）2021220212+11故选：A【变式2-2】简便计算：（1）2022220202024；（2）188237688+882【解答】（1）202222020202420222（20222）（2022+2）20222（202224）2022220222+44（2）188237688+8821882218888+8
6、82（18888）2100210000【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）Aa22ab+b2（ab）2Ba2b2（a+b）（ab）Ca2+aba（a+b）（2）若x29y212，x+3y4，求x3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）（1）（1）【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为ab，面积为（a+b）（ab），所以a2b2（a+b）（ab）故选：B（2）x29
7、y2（x+3y）（x3y）12，x+3y4x3y3（3）【变式3-1】（离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）Aa2aba（ab）Ba2b2（a+b）（ab）C（a+b）2a2+2ab+b2D（ab）2a22ab+b2【答案】B【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2b2；拼成的长方形的面积：（a+b）（ab），所以得出：a2b2（a+b）（ab），故选：B【变式3-2】乘法公式的探究及应用（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长
8、方形，面积是；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：10397；（2x+y3）（2xy+3）【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（ab），因此面积为（a+b）（ab），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2b2，由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（ab）a2b2，故答案为：（a+b）（ab），a2b2，（a+b）（ab）a2b2；（2）10397（100+3）（1003）1002321000099991；原式（2x+y3）2x（y3）（2x）2（y3）24x2（y26y+9）4
9、x2y2+6y9【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）（1）探究：上述操作能验证的等式是（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2b2，第二个图形的面积是（a+b）（ab），则a2b2（a+b）（ab）故答案为：a2b2（a+b）（ab）；（2）原式（1）（1+）（1）（1+）（1）（1+）【考点3：完全平方公式】【典例4】（罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2 （2）（x2y）2（3）（xy）2 （4）1992【解答】解：（1）（3a+b
10、）29a2+6ab+b2；（2）（x2y）2x22xy+4y2；（3）（xy）2x2+2xy+y2；（4）1992（2001）240000400+139601【变式4-1】（沙坪坝区校级月考）（4x）2【解答】解：原式（4x+）216x2+4xy+y2【变式4-2】（沙坪坝区校级月考）（3ab）2【解答】解：（3ab）2（3a）223ab+b29a26ab+b2【变式4-3】（静安区校级月考）（a+bc）2【解答】解：原式（a+b）c2（a+b）22（a+b）c+c2a2+2ab+b22ac2bc+c2【典例5】（丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（）A18B9C9D1
11、8【答案】A【解答】解：x2+mx+81是一个完全平方式，mx2x9，解得：m18故选：A【变式5-1】（新会区校级期末）已知x2ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（）A4B4C8D8【答案】D【解答】解：若x2ax+16（x4）2时，此时a8，若x2ax+16（x+4）2时，此时a8，所以a8，故选：D【变式5-2】（沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（）A3B1C3或1D2【答案】C【解答】解：（x1）2x22x+1，k+12，k3或1，故选：C【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中
12、虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形（1）图2中阴影部分的正方形的边长是；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n8，mn12，求mn的值【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为ab的正方形，故答案为：ab；（2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（ab）2+4ab，所以有（a+b）2（ab）2+4ab，答：（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系为（a+b）2（ab）2+4ab；（3）m+n
13、8，mn12，（mn）2（m+n）24mn644816，mn4【变式6-1】（南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别张【解答】解：（1）由题意知，（a+b）2a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2a2+2ab+b2；（2）（2a+b）（a+b）2a2+3ab+b2，需要A、B、C三种纸片分别2张，
14、1张，3张，故答案为：2，1，3【变式6-2】（黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（）Ax2y2（xy）（x+y）B（xy）2x22xy+y2C（x+y）2x2+2xy+y2D（xy）2+4xy（x+y）2【答案】C【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，其余两个长方形的面积均为xy，各部分面积相加得：x2+2xy+y2，（x+y）2x2+2xy+y2故选：C【变式6-3】（邗江区期末）完全平方公式：（ab
15、）2a22ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题例如：若a+b3，ab1，求a2+b2的值；解：因为a+b3，所以（a+b）29，即：a2+2ab+b29，又因为ab1，所以a2+b27根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y8，x2+y240，求xy的值；（2）填空：若（4x）x5，则（4x）2+x2；若（4x）（5x）8，则（4x）2+（5x）2（3）如图，在长方形ABCD中，AB25，BC15，点EF是BC、CD上的点，且BEDFx，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和【解答
16、】解：（1）2xy（x+y）2（x2+y2）644026，xy13（2）令a4x，bx，则a+b4，ab5，a2+b2（a+b）22ab16106.，（4x）2+x26，故答案为：6令a4x，b5x，则ab1，ab8，a2+b2（ab）2+2ab1+1617，（4x）2+（5x）217，故答案为：17（3）由题意得：（25x）（15x）200，令a25x，b15x，则：ab10，ab200，a2+b2（ab）2+2ab100+400500，（25x）2+（15x）2500，所以阴影部分的面积和为500平方米【考点5：完全平方公式拓展运用】【典例7】（巨野县期末）已知x+y5，xy3（1）求x2
17、+y2的值；（2）求（xy）2的值【解答】解：（1）x+y5，xy3，x2+y2（x+y）22xy（5）22（3）25+631；（2）xy3，x2+y231，（xy）2x2+y22xy312（3）37【变式7-1】（平桂区期末）已知x+y5，xy2，求x2+y2的值【解答】解：x2+y2（x+y）22xy522221【变式7-2】（尚志市期末）已知：x+y3，xy1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（xy）2【解答】解：（1）（x+y）2x2+y2+2xy，x+y3，xy1，9x2+y22，x2+y211；（2）x2+y211，（xy）2x2+y22xy112（1）13【变式7-3】（汝阳县期中）已知x2+y229，x+y7，求各式的值：（1）xy；（2）xy【解答】解：（1）x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249，x2+y229，2xy20，xy10（2）（xy）2x22xy+y229209，xy3
