1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb (a、b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b (k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb (a，b为常数，a0)(2)三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像
2、的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.()(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题.()1.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A.y2xB.yx21C.y2x2D.ylog2x答案D解析根据x0.50
3、，y0.99，代入计算，可以排除A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意.故选D.2.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图像，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()答案D解析由图可知，张大爷开始匀速离家直线行走，中间一段离家距离不变，说明在以家为圆心的圆周上运动，最后匀速回家.故选D.3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.1答案D解析设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.
4、4.一水池有2个进水口，1个出水口，两个进水口的进水速度如图甲、乙所示，出水口的排水速度如图丙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水.则一定正确的论断序号是_.答案解析从0点到3点，两个进水口的进水量为9，故正确；由排水速度知正确；4点到6点可以是不进水，不出水，也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口，故不正确.5.(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时，在
5、22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是_小时.答案24解析由题意得e22k，e11k，x33时，ye33kb(e11k)3eb3eb19224.题型一用函数图像刻画变化过程例1(1)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如
6、图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案(1)D(2)B解析(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图像应一直是下凹的，故选B.思维升华判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合
7、实际的情况，选择出符合实际情况的答案.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，ABP的面积为S，则函数Sf(x)的图像是()答案D解析依题意知当0x4时，f(x)2x；当4x8时，f(x)8；当8x12时，f(x)242x，观察四个选项知，选D.题型二已知函数模型的实际问题例2候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为vablog3(其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)
8、求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利
9、用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.答案19解析由图像可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.题型三构造函数模型的实际问题命题点1构建二次函数模型例3某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.1
10、1万元C.43万元D.43.025万元答案C解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132.因为x0,16，且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.命题点2构建指数函数、对数函数模型例4(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg20.3010,100.00751.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n
11、次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案(1)C(2)B解析(1)设每年人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以10为底的对数，则40lg(1x)lg2，所以lg(1x)0.0075，所以100.00751x，得1x1.017，所以x1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n元，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故该股民这支股票略有亏损.命题点3构建分段函数模型
12、例5某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.答案9解析设出租车行驶xkm时，付费y元，则y由y22.6，解得x9.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝
13、酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据道路交通安全法规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过_小时才能开车.(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A.10B.11C.13D.21答案(1)5(2)A解析(1)设经过x小时才能开车.由题意得0.3(125%)x0.09，0.75x0.3，xlog0.750.34.1
14、9.x最小为5.(2)设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为242xx(x1)，所以x年的平均费用为yx1.5，由基本不等式得yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取等号，所以选A.2.函数应用问题典例(12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.思维点拨
15、根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.规范解答解(1)当040时，WxR(x)(16x40)16x7360.2分所以W4分(2)当040时，W16x7360，由于16x21600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以W取最大值为5760.10分综合知，当x32时，W取得最大值6104万元.12分解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为
16、实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.温馨提醒(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.方法与技巧1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础.2.实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.3.解函数应用题的五个步骤：审题；建模；解模；还原；反思.失误与防范1.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所
17、以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.3.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.A组专项基础训练(时间：45分钟)1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映月销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y100xB.y50x250x100C.y502xD.y100log2x100答案C解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型.2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即
18、优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A.118元B.105元C.106元D.108元答案D解析设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108.3.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是()答案A解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.4.设函数f1(x)x，f2(x)log2015x，ai (i1,2，2015)，记Ik|fk(a2)fk(a1)|fk(a3)fk
19、(a2)|fk(a2015)fk(a2014)|，k1,2，则()A.I1I2D.I1与I2的大小关系无法确定答案A解析依题意知，f1(ai1)f1(ai)ai1ai，因此I1|f1(a2)f1(a1)|f1(a3)f1(a2)|f1(a2015)f1(a2014)|.因为f2(ai1)f2(ai)log2015ai1log2015ailog2015log20150，所以I2|f2(a2)f2(a1)|f2(a3)f2(a2)|f2(a2015)f2(a2014)|log2015log20151，因此I1I2，选A.5.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒
20、每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为()A.2B.6C.8D.10答案A解析由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104(10010x)70，令104(10010x)70112104，解得2x8.故x的最小值为2.6.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.答案20解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积Sx(40x)x240x(x
21、20)2400(0x0).则当年广告费投入_万元时，该公司的年利润最大.答案4解析由题意得L2(x0).当0，即x4时，L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大.9.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)(元)成反比例.又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量(实际电价成本价)解(1)y与(x0.4)成反比例，设y(k
22、0).把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y与x之间的函数关系式为y.(2)根据题意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%).整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根.x的取值范围是0.550.75，故x0.5不符合题意，应舍去.x0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式yf(
23、t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间.解(1)由题图，设y当t1时，由y4得k4，由1a4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5(小时).B组专项能力提升(时间：25分钟)11.有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg20.3010，lg30.4771)()A.19B.20C.21D.22答案C解析操作次数为n时的浓度为n1，由n121.8，n21.12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮
24、边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为()A.x15，y12B.x12，y15C.x14，y10D.x10，y14答案A解析由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180，当y12时，S有最大值，此时x15.13.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个.答案2ln21024解析当t0.5时，y2，2，k2ln2，ye2tln2，当t5时，ye10ln22101024.
25、14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y若y30元，则他购物实际所付金额为_元.答案1350解析若x1300元，则y5%(1300800)25(元)1300.由10%(x1300)2530，得x1350(元).15.已知一家公司生产某品牌服装有年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司
26、一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)解(1)当010时，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)当00，当x(9,10时，W10时，W9898238，当且仅当2.7x，即x时，W38，故当x时，W取最大值38(当1000x取整数时，W一定小于38).综合知，当x9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中所获年利润最大.- 15 - 版权所有高考资源网
