1、专题5.3 三角函数的概念1任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即= (x0). 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.2三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的
2、符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.因此，正弦函数()、余弦函数()、正切函数()的值在各个象限内的符号如图所示.3诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一)：4同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1 任意角的三角函数的定义及应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.【例1
3、】（2022广东高一开学考试）已知角的终边经过点，则（）ABCD【变式1-1】（2022陕西高三阶段练习（文）设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则（）ABCD【变式1-2】（2022河南高三阶段练习（文）已知角的终边经过点，则的值为（）ABC1或D或【变式1-3】（2023全国高三专题练习）已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（）ABCD【题型2 三角函数值在各象限的符号】【方法点拨】对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角
4、的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.【例2】（2022全国高一课时练习）已知为第二象限角，则（）ABCD【变式2-1】（2022全国高一课时练习）已知为第二象限的角，则的值为（）ABCD【变式2-2】（2022全国高三专题练习）若且，则角所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【变式2-3】（2022北京高一期中）设是第一象限的角，且，则所在的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【题型3 诱导公式一的应用】【方法点拨】1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.2.利用诱导公式一可将负角或
5、大于等于2的角的三角函数化为02之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”.【例3】（2022湖南高一课时练习）求值：【变式3-1】（2021全国高一课前预习）计算下列各式的值：(1)；(2).【变式3-2】（2021全国高一课时练习）化简下列各式：(1)；(2)（其中是第二象限角）.【变式3-3】（2021全国高一课前预习）求下列各式的值：(1)costan；(2)sin 810tan 1 125cos 420.【题型4 根据同角三角函数的基本关系求值】【方法点拨】第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；第三步：利用同角三角函数的
6、基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.【例4】（2022江西省高三阶段练习（理）已知，则（）ABCD5【变式4-1】（2022贵州高三阶段练习（文）已知，则的值为（）ABCD【变式4-2】（2021河北高二期中）已知，且，（）ABCD【变式4-3】（2022山东高二阶段练习）已知,则的值为（）ABCD【题型5 三角函数式的化简】【方法点拨】1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根
7、号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造，以降低次数，达到化简的目的.【例5】（2021福建高一阶段练习）（1）已知求的值；（2）已知，且为第四象限角，求的值.【变式5-1】（2022全国高一课时练习）已知(1)求的值；(2)求的值【变式5-2】（2022全国高一课时练习）已知，求下列各式的值.(1)；(2).【变式5-3】（2022天津模拟预测）已知， .(1)求的值；(2)求的值；(3)求 .的值【题型6 三角恒等式的证明】【方法点拨】三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.【例6】（2022全国高一课时练习）求证：(1)；(2).【变式6-1】（2021全国高一课时练习）求证：(1)(2)【变式6-2】（2021全国高一专题练习）求证：sin4+cos412sin2cos2【变式6-3】（2022全国高一课时练习）求证：(1)；(2)
