1、专题5.1 导数的概念及其意义1瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v=.2抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k=.3函
2、数的平均变化率函数平均变化率的定义对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)，如果当点P(x,f(x)沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f()时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(x)在x=处的导数f()就是切线T的斜率
3、，即=f().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f()(x-).5导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y，即f(x)=y=.【题型1 瞬时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】（2022全国高二专题练习）已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间则10表示的意义是（）A经过4s后物体向前走了10mB物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C物体在
4、第4秒内向前走了10mD物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s【变式1-1】（2022全国高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（）A0m/sB1m/sC2m/sD3m/s【变式1-2】（2022广东广州高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A10.9B-10.9C5D-5【变式1-3】（2022河南高二阶段练习（理）一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，
5、在时的瞬时速度为，则（）ABCD【题型2 平均变化率】【方法点拨】根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.【例2】（2022江苏省高二阶段练习）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（）ABCD【变式2-1】（2022辽宁高二阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（）A3B2CD【变式2-2】（2022陕西高二阶段练习（理）若函数，当时，平均变化率为2，则m等于（）AB2C3D1【变式2-3】（2022陕西安康高二期末（文）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物
6、浓度随时间t变化的关系如下图所示给出下列四个结论错误的是（）A在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同【题型3 利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义，转化求解即可.【例3】（2022新疆高二阶段练习（理）已知函数在处的导数为2，则（）A0BC1D2【变式3-1】（2022上海市高二期末）已知是定义在R上的可导函数，若，则=（）ABC1D【变式3-2】（2022湖北襄阳高二期末）若函数在处的导数为1，则（）A2B3C2D3【
7、变式3-3】（2022全国高二专题练习）已知函数的定义域为，若，则（）ABCD【题型4 导数的几何意义】【方法点拨】根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.【例4】（2023上海高三专题练习），在处切线方程为（）ABCD【变式4-1】（2022河南高三阶段练习（文）已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（）A1B2C3D5【变式4-2】（2022河南高三阶段练习（文）设函数在点处的切线方程为，则（）A4B2C1D【变式4-3】（2022浙江高二期中）如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（）ABCD【题型5 函数图象与导函数的关系】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函
8、数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022全国高二课时练习）已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（）ABCD【变式5-1】若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是ABCD【变式5-2】（2022北京高二期末）已知函数，其导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）ABCD【变式5-3】（2022河南高二阶段练习（理）已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则函数的图象可能是（）ABCD【题型6 导数的几何意义的应用】【方法点拨】曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.【例6】（2022河南高三开学考试（文）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）ABCD【变式6-1】（2022陕西教学研究室一模）已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）ABCD【变式6-2】（2022广东高二期中）如图，函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）ABCD【变式6-3】（2022河南高二阶段练习（理）已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则，的大小关系是（）ABCD
