1、第1章二次根式（压轴30题专练）一选择题（共3小题）1（路北区一模）直线l：y（m3）x+n2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m3|得（）A3mnB5C1Dm+n5【分析】先从一次函数的图象判断m3的正负值，n2的正负值，然后再化简原代数式【解答】解：直线l：y（m3）x+n2（m，n为常数）的图象可知，n20，m30|m3|m3m3+n2m+n5故选：D【点评】本题主要考查二次根式的性质及其化简，绝对值的化简2（芜湖）估计的运算结果应在（）A6到7之间B7到8之间C8到9之间D9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算【解答】解：4+，而45，原式运算的结果在8到9之间；故
2、选：C【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法3（苍南县校级自主招生）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则x3+y3+z33xyz的值是（）A0B1C3D条件不足，无法计算【分析】由二次根式有意义可知xz0，x3（yx）30，x3（zx）30，可得x0，yz代入代数式即可求解【解答】解：依题意得：，解得x0，yz把x0，yz代入x3+y3+z33xyz得：原式（z）3+z30故选：A【点评】此题考查了二次根式的有意义时被开方数是非负数的性质与不等式组解集的求解方法此题比较难，注意仔细分析二填空题（共5小题）4（永嘉县校
3、级期末）若|2017m|+m，则m201722018【分析】根据二次根式的性质求出m2018，再化简绝对值，根据平方运算，可得答案【解答】解：|2017m|+m，m20180，m2018，由题意，得m2017+m化简，得2017，平方，得m201820172，m201722018故答案为：2018【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简绝对值是解题关键5（永嘉县校级期末）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号例如：，（1）将分母有理化可得1；（2）关于x的方程3x+的解是【分析】（1）根据
4、材料进行分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解【解答】解：（1）1故答案为：1；（2）3x+，3x+，3x+，3x（+），6x11+，6x3，x，故答案为：【点评】本题主要考查了分母有理化和解一元一次方程，解题的关键是根据材料能正确的进行分母有理化6（永嘉县校级期末）把a中根号外面的因式移到根号内的结果是【分析】判断得到a为负数，利用二次根式性质化简即可【解答】解：原式，故答案为：【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键7（永嘉县校级期末）已知x+1，y1，则x25xy+y2+67【分析】根据已知条件先求出xy和xy的值，再把要求的式子变
5、形为（xy）23xy+6，然后代值计算即可【解答】解：x+1，y1，xy+1（1）2，xy1，x25xy+y2+6（xy）23xy+6223+67；故答案为：7【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是完全平方公式和平方差公式，关键是对要求的式子进行变形8（永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或【分析】由是正整数可得，a是含2的代数式；再由是整数，可得化简后为含2的代数式，据此确定a的值【解答】解：是正整数，a是含2的代数式；是整数，化简后为含2的代数式，a或故答案为：或【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化三解答题（共22小
6、题）9（饶平县校级期中）计算：（1）+2（2+）2（2）（）2（1）2012+【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算【解答】解：（1）原式+2（8+4+3）4+211472；（2）原式4114+5414+54【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍10（鄞州区期末）化简：（1）3（+）（2）（）【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根
7、式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则运算【解答】解：（1）原式32；（2）原式2【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式也考查了零指数幂和负整数指数幂在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍11（保定期末）计算题（1）（2）（+）（）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式的乘法法则和平方差公式计算【解答】解：（1）原式32；（2）原式（53）321【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然
8、后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍12（邵阳县模拟）已知+b+8（1）求a的值；（2）求a2b2的平方根【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出不等式组，求出a即可；（2）求出a、b的值，再求出平方根即可【解答】解：（1）+b+8，a170且17a0，解得：a17；（2）a17，b+80，b8，a2b2的平方根是15【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、平方根的定义等知识点，能求出a的值是解此题的关键13（矿区期中）（1）计算（2+3）（2）已知a+2，b2求a2b+a
9、b2的值【分析】（1）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算乘法即可得；（2）将a、b的值代入原式ab（a+b），计算可得【解答】解：（1）原式（2+）24；（2）当a+2，b2时，原式ab（a+b）（+2）（2）（+2+）（34）22【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则14（鄞州区期中）计算：（1）2+3；（2）（2）2（）（）【分析】（1）先计算乘法，再合并同类二次根式即可得；（2）先计算乘方、利用平方差公式计算，再进一步计算可得答案【解答】解：（1）原式2+32+35；（2）原式24（53）24222【点评】本题主要考查二次根式
10、的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则15（台州期中）计算：（1）（2）（2+3）（23）【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；（2）利用平方差公式计算【解答】解：（1）原式；（2）原式12186【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍16（嘉兴期中）计算：（1）+2（2）（+1）2（+1）（1）【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的乘法法则运算，最后合并即可；（2）利用完全平方公式和平
11、方差公式计算【解答】解：（1）原式（2）+222+22；（2）原式5+2+1（51）6+242+2【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍17（晋江市期中）若a和b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数等于它本身，试化简：【分析】直接利用互为相反数以及互为倒数和倒数的性质分析得出答案【解答】解：a和b互为相反数，c与d互为倒数，m的倒数等于它本身，a+b0，cd1，m1，202【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简各式是解题
12、关键18（卧龙区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm2+2m20的根【分析】利用同类二次根式定义求出x的值，代入方程计算即可求出m的值【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，2x2x4x2，即2x25x+20，解得：x（舍去）或x2，把x2代入方程得：2m2+2m20，即m2+m10，解得：m【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键19（乐清市校级月考）已知：Ax+xy2y，Bx2y+1（1）求2AB的值（结果用含x和y的代数式表示）（2）若y+，求（1）中代数式的值【分析】（1）先去括号，再合并即可得到结论；（2
13、）根据二次根式有意义的条件得到x，y的值，然后代入计算即可【解答】解：（1）原式2（x+xy2y）（x2y+1）3x2y+2xy1；（2）y+，x2，y，原式4【点评】本题考查了整式的加减化减求值：给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算20（建德市期末）现有一组有规律的数：1，1，1，1，其中1，1，这六个数按此规律重复出现（1）第50个数是什么数？（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？【分析】（1）
14、首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，1，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（1）+（）+（）0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；（3）首先求出1，1，六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，1，50682，第50个数是1（2）201763361，且1+（1）+（）+（）0，从第1个数开始的前2017个数的
15、和是：3360+11（3）12+（1）2+（）2+（）2+（）2+（）212，52012434，而且12+（1）2+（）24，436+3261，即共有261个数的平方相加【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，1，而且每个循环的6个数的和是021（武昌区期中）已知3x2，化简：|x3|+【分析】根据3x2判断出（x3）及（x2）的符号，再根据绝对值的性质及二次根式的性质把代数式进行化简即可【解答】解：3x2，x30，x20，2x50，原式3x|x2|+|2x5|3x+x22x+52x+6【点评】本题考查的
16、是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键22（嵊州市校级期中）问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求此三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上：思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法如果ABC三边的长分别为a、a、a（a0），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积探索创新：（3）若ABC三边的
17、长分别为、（m0，n0，且mn），试运用构图法画出示意图并求出这三角形的面积【分析】（1）ABC的面积33122132232；（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为4m，2n的直角三角形的斜边同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积【解答】解：（1）SABC33121323故答案为：（2）如图1，在边长为
18、a的正方形网格中，ABC即为所求作三角形，SABC2a4a2a2a2aa4aa3a2；（3）如图2，在长为m、宽为n的网格中，ABC即为所求作三角形，其中AB、AC、BC，SABC4m4nm4n3m2n4m2n7mn【点评】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答23（射洪市期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+bm，abn，即，那么便有：根据上述方法化简：（1）（2）【分析】（1）直接利用完全平方公式化简求出答案；（
19、2）直接利用完全平方公式化简求出答案【解答】解：（1）；（2）2+【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键24（永嘉县校级期末）【知识链接】（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式例如：的有理化因式是；1的有理化因式是1+（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的如：1，【知识理解】（1）填空：2的有理化因式是；（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：；3【启发运用】（3）计算
20、：+【分析】（1）由22x，即可找出2的有理化因式；（2）分式中分子、分母同时（），即可得出结论；分式中分子、分母同时（3），即可得出结论；（3）利用分母有理化将原式变形为1+2+，合并同类项即可得出结论【解答】解：（1）22x，2的有理化因式是故答案为：（2）；3故答案为：；3（3）原式+，1+2+，1【点评】本题考查了分母有理化，解题的关键是：（1）由22x，找出2的有理化因式；（2）根据平方差公式，将各式分母有理化；（3）利用分母有理化将原式变形为1+2+25（永嘉县校级期末）阅读下面的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2a且mn，则a+2可变
21、为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得m+n，化简：例如：5+23+2+2（）2+（）2+2（+）2+请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1+）2，然后利用二次根式的性质化简即可（2）利用完全平方公式把72化为（）2然后利用二次根式的性质化简即可【解答】解：（1）4+21+3+212+2（1+）2，1+；（2）【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式26（市中区校级一模）观察下面的式子：S11+，S21+，S31+Sn1+（1）计算：，；猜想（用n的代数式表示）；（2）计算：S+（用n的代数式表示
22、）【分析】（1）分别求出S1，S2，的值，再求出其算术平方根即可；（2）根据（1）的结果进行拆项得出1+1+1+1+，再转换成n+（1+）即可求出答案【解答】（1）解：S11+，；S21+，；S31+，；Sn1+，故答案为：，；（2）解：S+1+1+1+1+n+（1+）n+1，【点评】本题考查了二次根式的化简，主要考学生的计算能力，题目比较好，但有一定的难度27（饶平县校级期中）已知：a2，b+2，分别求下列代数式的值：（1）a2+ab+b2（2）【分析】（1）求出a+b和ab的值，把所求代数式化成含有a+b和ab的形式，代入即可；（2）通分后把a+b和ab的值代入求出即可【解答】解：a2，b
23、+2，a+b（2）+（+2）2，ab（2）（+2）341，（1）a2+ab+b2（a+b）2ab（1）13：（2）+2【点评】本题考查了二次根式的化简求值，注意：解此类问题应先求出a+b和ab的值，再整体代入比较好28（浦东新区校级月考）已知x，y，且19x2+123xy+19y21985试求正整数n【分析】首先化简x与y，可得：x（）22n+12，y2n+1+2，所以x+y4n+2，xy1；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得【解答】解：化简x与y得：x2n+12，y2n+1+2，x+y4n+2，xy（+）（）21，将xy1代入方程，化简得：x2+y298，（x+y）2x2+y2+2xy
24、98+21100，x+y104n+210，解得n2【点评】此题考查了二次根式的分母有理化解题的关键是整体代入思想的应用29（新蔡县期中）阅读下列材料，并解决相应问题：应用：用上述类似的方法化简下列各式：（1）（2）若a是的小数部分，求的值【分析】（1）直接找出分母有理化因式进而化简求出答案；（2）直接表示出a的值，进而化简求出答案【解答】解：（1）；（2）由题意可得：a1，3+3【点评】此题主要考查了分母有理化，正确表示出有理化因式是解题关键30（唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：1以上这种化简的步骤叫做分母有理化（1）化简（2）化简（3）化简：+【分析】（1）分子分母分别乘即可；（2）分子分母分别乘即可；（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；【解答】解：（1）（2）化简（3）化简：+（1+）（1）【点评】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型
