1、专题6.32 反比例函数（存在性问题）（基础篇）1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；(2) 请直接写出不等式的解集(3) 若直线与轴交于点轴上是否存在一点，使？若存在，请求出点坐标；若不存在，说明理由2如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点点在反比例函数的图像上的一点，轴，垂足为，与交于点，(1)求，的值；(2)若点为轴上的一点，求当最小时，点的坐标；(3)是平面内一点，是否存在点使得以、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由3如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函
2、数图像交于第一象限内的点，轴于点，(1)求反比例函数的解析式；(2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由4如图，一次函数y=kx+b（k0）与反比例函数y=（x0）的图象交于A（m，4），B（2，n）两点，与x轴相交于N点(1)求一次函数的表达式；(2)求AOB的面积；(3)在直线AB上是否存在点P，使得SONP=3SAOB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由5已知反比例函数y图象过第二象限内的点A（2，2），若直线yax+b经过点A，并且经过反比例函数y的图象上另一点B（m，1），与x轴交于点M(1)求反比例函数的解
3、析式和直线yax+b解析式(2)若点C的坐标是（0，2），求CAB的面积(3)在x轴上是否存在一点P，使PAO为等腰三角形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由6一次函数yax1的图象与x轴交于点C（2，0），与反比例函数y（k0）的图象的交点为A和B，且点B的横坐标是2，(1)求反比例函数解析式；(2)若x轴上存在点D，使得BCCD，直接写出点D的坐标7如图，点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，ADy轴于点D，BCy轴于点C，DC=5(1)求m，n的值并写出反比例函数的表达式；(2)连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不存
4、在，请说明理由8如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点，轴于点，的面积为2若直线经过点，并且经过反比例函数的图象上另一点（1）求直线的解析式；（2）设直线与轴交于点，求的长；（3）在双曲线上是否存在点，使得的面积为8？若存在请求点坐标；若不存在请说明理由9如图，已知反比例函数y的图象与一次函数的图象ymx+n的图象交于点A（2，1），点B（1，a）（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；（2）若在x轴上存在一点P，使得SPAB3，直接写出点P的坐标10如图，直角ABC中，C90，AC2，BC4，AC平行于x轴，A、B两点在反比例函数y（x0）的图象上延长CA交y轴于点D，AD1（1）求
5、反比例函数的解析式；（2）在y轴上是否存在点P，使PAB的周长最小，若存在，直接写出此时PAB的周长；若不存在，说明理由11如图，反比例函数 y的图象与一次函数ymxb的图象交于两点A（1,3）,B（n,1）（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求ABO的面积；（4）在y轴上存在点P，使AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.12如图，点A是反比例函数上一点，作ABx轴于点B，且AOB的面积为2，点A坐标为(-1，m)(1)求k和m的值(2)若直线经过点A，交另一支双曲线于点C，求AOC的面积(
6、3)指出x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出结果(4)在y轴上是否存在点P，使得PAC的面积为6，如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由13已知反比例函数图象过第二象限内的点A（-2，m）ABx轴于B， RtAOB面积为3, 若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，），（1）反比例函数的解析式为，m= ，n= ；（2）求直线y=ax+b的解析式；（3）在y轴上是否存在一点P，使PAO为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，说明理由14已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，B两点(1)求一次函数的解析式及B点的坐标；(2)
7、在网格中画出一次函数的图像，并根据函数图象，直接写出不等式的解集；(3)若在x轴上存在点P使得，求P的坐标15如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于(1) 求线段的长度；(2) 在x轴上存在一点C，使为等腰三角形，求此时点C的坐标16如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的、两点，直线与轴交于点，点的坐标为(1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由17如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点(1)直接写出关于的不等式的解集；(2)在轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在
8、，求出点的坐标；若不存在，请说明理由18如图，反比例函数与的图象交于，两点，轴，直线与轴、轴分别交于，两点，若，(1) 求反比例与一次函数的表达式；(2) 当时，求的取值范围；(3) 在反比例的图象上（除点外）还存在到点的距离等于线段的点吗？若不存在，请说明理由，若存在，直接写出该点的坐标19如图，点C是反比例函数图象的一点，点C的坐标为(1)求反比例函数解析式；(2)若一次函数与反比例函数相交于A，C点，求点A的坐标；(3)在x轴上是否存在一个点P，使得的面积为10，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由20如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于N点(1)求一次函
9、数的表达式：(2)求的面积；(3)在直线AB上是否存在点P，使得，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由参考答案1(1)，；(2)或；(3)存在，或【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把点代入得到一次函数的解析式为：；（2）当时，得到，设，根据三角形的面积公式即可得到结论（1）解：把点代入得，反比例函数的解析式为；把代入得，把点代入得， 解得：，一次函数的解析式为；（2）解：由一次函数图象与反比例函数图象可知，不等式的解集，即的解集为：或（3）解：轴上存在一点，使；当时，解得：，设，或，或【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的
10、解析式，正确的理解题意是解题的关键2(1)，；(2)点的坐标；(3)存在，点的坐标为，【分析】（1）把点代入一次函数，可求出的值，在把求出的点的值代入反比例函数（），可求出的值；（2）根据题意，求出点的坐标，如图所示（见详解），作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即求的最小值时点的坐标，即直线与轴的交点，用待定系数求出直线解析式即可求解；（3）根据一次函数图像，反比例函数图像的性质分别求出，的值，分别以，边平行四边形的两边作图，以为平行四边形的对角线作图，以为平行四边形的对角线作图，图形结合即可求解（1）解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，即，代入反比例函数得，即，则反比例函数为，（2）
11、解：一次函数与轴交于点，轴，垂足为，且点在反比例函数的图像上的一点，点的横坐标为，且，如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即求的最小值时点的坐标，设直线的解析式为，解方程组得，直线的解析式为，令时，即点，当最小时，点的坐标（3）解：，如图所示，过点作轴于，作于，连接，即，在中，；在中，；在中，如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，四边形为平行线四边形，则以为直角边，为斜边的直角三角形中，点在轴的正半轴上，点的坐标为；如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，四边形为平行线四边形，由可知，是关于点的对称点，过点作轴于，且为等腰直角三角形，点的纵坐标为，即
12、点的纵坐标为，则，点的坐标为；如图所示，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，两线交于点，四边形为平行线四边形，如图所示，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，同理，点的坐标为，综上所示，点的坐标为，【点拨】本题主要考查一次函数，反比例函数，几何变换的综合，掌握一次函数，反比例函数的性质，几何图形的性质，图形结合是解题的关键3(1)；(2)，【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解；（2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，所以，即，由此即可求解（1）解：根据题意，则点的纵坐标为，且点在函数，解方
13、程得，设反比例函数解析式为，解方程得，反比例函数解析式为（2）解：设，设点到距离为，即，解方程得，【点拨】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键4(1)y2x6；(2)3；(3)点P的坐标为（0，6）或（6，6）【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）将AOB的面积转化为的面积即可；（3）设，结合，求出y值，进而求出点P坐标；（1）解：点A在反比例函数上，解得m1，点A的坐标为，又点B也在反比例函数上，解得n2点B的坐标为，又点A、B在的图象上，解得，一次函数的表达式
14、为；（2） 直线与x轴的交点为N，点N的坐标为，；（3） 设，由（2）知，则，ON3，则或，将代入中，得，解得，将代入中，得，解得，故点P的坐标为或【点拨】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键5(1)；(2)9；(3)存在，P点坐标为或或或【分析】（1）将代入得，进而可得反比例函数解析式；将代入，得，可得点坐标，然后将坐标代入中求出的值，进而可得的解析式；（2）如图，将代入中求解，可得点坐标，根据，计算求解即可；（3）设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解： 当时，即，求解满足要求的解即可；当时，进而可得点坐标
15、；当时，即，求解满足要求的解即可（1）解：反比例函数过点A将代入得反比例函数解析式为；将代入，得将，代入得解得直线yax+b解析式为（2）解：如图将代入得的面积为9（3）解：存在设，由题意知为等腰三角形，分3种情况求解： 当时，即解得，（不合题意，舍去）；当时，的坐标为，；当时，即解得；综上所述，在x轴上存在一点P，使PAO为等腰三角形，P点坐标为或 或 或 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形，反比例函数与几何综合等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用6(1)y；(2)D（22，0）或（22，0）【分析】（1）把C的坐标代入yax1求
16、得a的值，进而求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）根据等腰三角形的性质即可求得（1）解：一次函数yax1的图象与x轴交于点C（2，0），2a10，解得a，一次函数为yx1，把x2代入得，y12，B（2，2），点B在反比例函数y（k0）的图象上，k2（2）4，反比例函数解析式为y；（2）B（2，2），C（2，0），BC2，D（22，0）或（22，0）【点拨】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的性质，求得B的坐标是解题的关键7(1)；(2)存在，【分析】（1）根据题意列出关于m与n的方程组
17、，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；（2）设，根据PAB的面积等于四边形的面积减去和，建立方程，解方程求解即可解：(1)点A(1，m)，B(6，n)在反比例函数图象上，DC=5依题意，解得设反比例函数的解析式为，则反比例函数的解析式为(2)存在，理由如下，如图，连接，设，解得【点拨】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例数的性质是解题的关键8（1）；（2）；（3）存在(，8)或(，-8)【分析】（1）根据ABO的面积即可求出k的值，将A（-1，m），C（n，-2）分别代入解析式求A（-1，4），C（2，-2），代入y=ax+b即
18、可求出a、b的值，从而得到直线解析式；（2）先求得点M的坐标，利用勾股定理即可求解；（3）利用三角形面积公式求得点P的纵坐标，代入求解即可解：（1）AOB的面积为2，=2，又函数图象在二、四象限，k0，k=4，故y=，则点A的坐标为(1，4)，点C的坐标为 (2，2)，将点A(1，4)，点C(2，2)，代入y=ax+b，解得：，故直线AC的解析式为：y=2x+2；（2）令y=0，可得x=1，则点M的坐标为(1，0)，在RtABM中，AB=4，BM=2，则AM=2；（3）存在设点P的纵坐标为y，则BM|y|=8，解得y=8，故点P的坐标为(，8)或(，-8)【点拨】本题考查了反比例函数综合题，首
19、先根据反比例函数k的几何意义求出k值是关键，要求我们熟练待定系数法求函数解析式，第三问关键去根据三角形的面积确定P点纵坐标9（1）反比例函数解析式为y，一次函数的解析式为yx1；（2）P的坐标（1，0）或（3，0）【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，把点B（1，a）代入a，然后把A、B的坐标代入ymx+n，根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）先求出一次函数图象与x轴的交点C的坐标，然后根据SABPSAPC+SBPC得到关于PC的方程，解方程求得PC，进而即可求得P的坐标解：（1）反比例函数y的图象过点A（2，1），k212，反比例函数解析式为y，又点B（1，a）在y上
20、，a2，B（1，2），又一次函数ymx+n的图象过A、B两点，即 ，解之得，一次函数的解析式为yx1；（2）如图，由直线AB：yx1可知，直线与x轴交点C的坐标（1，0），SABPSAPC+SBPCPC1+23，PC2，P的坐标（1，0）或（3，0）【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键10（1）y（x0）；（2）存在PAB的周长的最小值为2+4【分析】（1）设A（1，k），则B（3，k-4），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3（k-4）=k，解得k=6，从而得到反比例函数的解析式；（2）先计算出AB=2，作A点关于y轴的对称点A，连接BA交y
21、轴于P点，连接PA，如图，则A（-1，6），PA=PA，利用两点之间线段最短可判断此时PA+PB的值最小，PAB的周长最小，然后计算出BA，从而得到PAB的周长的最小值解：（1）C90，AC平行于x轴，CDy轴，AD1，AC2，BC4，设A（1，k），则B（3，k4），B点在反比例函数y（x0）的图象上，3（k4）k，解得k6，反比例函数的解析式为y（x0）；（2）存在A（1，6），B（3，2），AB2，作A点关于y轴的对称点A，连接BA交y轴于P点，连接PA，如图，A（1，6），则PAPA，PA+PBPA+PBBA，此时PA+PB的值最小，PAB的周长最小，BA4PAB的周长的最小值AB+B
22、A2+4【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，做此类题，先设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k0），然后把一组对应值代入求出k，从而得到反比例函数解析式也考查了最短路径问题11（1）y=，y=x+2；（2）-3x0或x1；（3）4；（4）P（0，-）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）【分析】（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；（3）设一次函数交y轴于D，根据SABO=SDBO+SDAO即可求解；（4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底
23、边三种情况进行讨论即可求解解：（1）A（1，3）在反比例函数图象上，k=3，B（n,1）在y=的图象上，n=-3A（1，3），B（-3，-1）在一次函数ymxb图象上，解得m=1，b=2两函数关系式分别是：y=和y=x+2（2）由图象得：当-3x0或x1时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，A（1，3），B（-3，-1）SDBO=32=3，SDAO=12=1SABO=SDBO+SDAO=4（4）OA= = ，O是AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，-）或P（0，），A是AOP顶角的顶点时，由图象得，P（0，6），OA是底边，
24、P是AOP顶角的顶点时，设 P（0，x），分别过A、P作ANx轴于N，PMAN于M，则AP=OP=x，PM=1，AM=3-x,在RtAPM中， 即解得x= ，P（0，）故答案为（1）y=，y=x+2；（2）-3x0或x1；（3）4；（4）P（0，-）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法同时在求解面积时，要巧妙地利用分割法，将面积分解为两部分之和12（1）-4,4（2）（3）（4）存在，试题分析：（1）根据AOB的面积求出A点的坐标，然后根据A点坐标确定出反比例函数的解析式
25、即可（2）将AOC分成AOM和COM两部分进行求解先根据直线AC的解析式经过点A求出a的值，再求出M的坐标，即可得出OM的长，然后根据A、C的纵坐标即可求出AOC的面积；（3）由图象，根据A、C的横坐标即可得出答案（4）假设存在，设P（0，c），由即可求解解：（1）（2）把代入中得由C（4,-1）A（-1,4）设直线与y轴交于点D，易得D（6,3）（3）（4）设又考点：反比例函数与一次函数的交点问题13；P1(0,) ； P2(0,6)； P3(0,) ； P4(0,)解：试题分析：（1）；m=3; n=4 3分（2） 6分（3）答：存在点P使PAO为等腰三角形；点P坐标分别为：P1(0,)
26、； P2(0,6)； P3(0,) ； P4(0,) 考点：反比函数的应用点评：本题属于对反比例函数的基本知识的理解和运用以及分析14(1)，；(2)画图见分析；或；(3)或【分析】（1）先求出点纵坐标，代入一次函数解析式，求解的值，即可求出解析式；然后联立反比例函数解析式组成方程组，求解另一个的值，代入反比例函数即可求得点坐标（2）连接、点所在直线即是一次函数图像；的解集，可以看图中一次函数图像在反比例函数图像上方部分，根据、点的横坐标即可写出对应解集（3）这样的点有两个，分别在轴的正半轴和负半轴各一个，设，交轴于点，转化成，根据、点坐标可以求出、的高，用的式子分别表示它们的底，即可求解的值
27、，从而求得点坐标（1）解：，则,一次函数解析式为联立有：，解得B点坐标为（2）解：作图如下，直线即为一次函数图像；的解集，表示一次函数图像在反比例函数图像上面的时候，即点左侧，或原点到点之间，的解集为：或（3）解：当在轴正半轴时，如图,，设交轴于点，轴于、轴于，则，化简得，解得当在轴负半轴时，如图,，解得所以点坐标或【点拨】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键15(1)；(2)或或或【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把B点坐标代入到反比
28、例函数解析式求出B点坐标，再利用勾股定理求出即可；（2）设点C的坐标为，则，然后根据等腰三角形的定义分情况讨论求解即可（1）解：把点代入反比例函数中得：，反比例函数解析式为，把代入反比例函数中得：，；（2）解：设点C的坐标为，当时，则，解得，点C的坐标为或；当时，则，解得，点C的坐标为；当时，则，解得或（舍去），点C的坐标为；综上所述，点C的坐标为或或或【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键16(1)；(2)6；(3)点的坐标为：或或或【分析】（1）把点代入得到，把代入，求得，即可得到答案；（2）根据三角形的面积公式即可得
29、到结论；（3）解方程组得到，根据勾股定理得到 ，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论（1）解：点在上，在上，反比例函数的解析式为：（2）交轴于点，与交于点，；（3），当时，或，当时，如图1，过作于，时，如图2，过作于，综上所述：点的坐标为：或或或【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意，分类讨论是解题的关键17(1)；(2)存在点，使得的周长最小，此时点的坐标为【分析】（1）结合点的横坐标，根据函数图象即可得；（2）先求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再根据两点之间的距离公式可得的长，要使的周长最
30、小，只需最小即可，过点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，根据两点之间线段最短可得点即为所求，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，由此即可得（1）解：关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，关于的不等式的解集为（2）解：将点代入得：，则，将点代入得：，则，的周长为，要使的周长最小，只需最小即可，如图，过点作关于轴的对称点，连接，交轴于点，则，由两点之间线段最短可知，点即为所求，设直线的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线的函数解析式为，当时，解得，所以存在点，使得的周长最小，此时点的坐标为【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、点坐标与轴对称等知识点，熟练掌握
31、待定系数法和函数图象法是解题关键18(1)，；(2)或；(3)和【分析】（1）根据反比例函数系数的几何意义即可求得，通过题意求得，即可求得，从而求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象即可求解；（3）根据反比例函数的对称性即可求得解：（1）轴于点E， 图象在二、四象限，反比例函数的表达式为 轴，一次函数中，当时，解得，将代入得，一次函数的表达式；（2）解： 得或，由图象可知，当时，x的取值范围是或（3）在反比例的图象上（除B点外）还存在两个到O点的距离等于线段的点，这两点与A、B关于直线对称，该点的坐标为和【点拨】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰直角三角形的判断和性质，函数与不
32、等式的关系，反比例函数的对称性，解决的关键是掌握求得函数解析式的方法19(1)；(2)；(3)存在，P点的坐标为或【分析】（1）把代入解方程即可得到结论；（2）把代入得到，解方程组即可得到结论；（3）根据的面积为10，可得，解得；或，解得；即可得到结论（1）解：把点代入，反比例函数的解析式为；（2）解：把代入得：，解得，或，点A的坐标为；（3）解：存在 理由：假设存在，设P点坐标为，设直线与x轴交于点M当时，解得：，点M，解得；或，解得；P点的坐标为或故存在P点使得的面积为10【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，三角形的面积是20(1)；(2)3；(3)点P的坐标为或【分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；（2）将AOB的面积转化为的面积即可；（3）设，结合，列出方程，求出y值，进而即可确定点P坐标（1）解：点A在反比例函数上，解得，点A的坐标为，又点B也在反比例函数上，解得点B的坐标为，又点A、B在的图象上，解得，一次函数的表达式为；（2）直线与x轴的交点为N，当时，点N的坐标为，
