1、专题2.15 换元法解一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1. 理解换元法的实际意义并能列出换元后的方程；2.掌握用换元法解一元二次方程的步骤，并熟练运用换元法解一元二次方程。【要点梳理】1、解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方
2、程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的.【典型例题】类型一、解一元二次方程换元法列方程求值1（江苏扬州八年级校考阶段练习）用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（）ABCD【答案】A【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可解：原方程可化为，整理为故答案为：A【点拨】本题考查换元法解方程，灵活运用即可举一反三：【变式1】（全国九年级专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（）ABCD【答案】D【分析】将原方程中的换成，再移项即可解：根据题意，得，即；故选：D【点拨】本题考查换元法解一元二次方程，换元法就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，实
3、行等量代换【变式2】（湖北武汉统考二模）【问题背景】“整体替换法”是数学里的一种常用计算方法利用式子的特征进行整体代换，往往能解决许多看似复杂的问题【迁移运用】计算的值解：设原式，则可分析得：根据上述方程解得：，而原式，故：原式【联系拓展】_ABCD【答案】B【分析】根据题目呈现的“整体替换法”，令，作差即可求解解：设，则，故选：B【点拨】本题为新定义类型问题的考查，解题的关键是读懂题目中“整体替换法”的概念，应用到解题当中2（全国九年级专题练习）若，则_【答案】1【分析】设，则方程化为，求出a的值，即可得出的值，代入求出即可解：，设，则化为，解得：，即，所以故答案为：1【点拨】本题考查了换元
4、法解一元二次方程，解题的关键是要将原式变形，设，得到一元二次方程举一反三：【变式1】（河北承德九年级校考期末）在利用方程，求时，嘉琪令则原方程转化为 _ ，聪明又谨慎的你可以利用得到的值为 _ 【答案】 【分析】先用换元法得到一元二次方程，注意，然后用因式分解法解一元二次方程，保留有意义的根，舍去不符合题意的根解：，令，则，或，（舍）或，故答案为：，【点拨】本题考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，注意隐含条件的判断是解决问题的关键【变式2】（湖南常德九年级统考期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程
5、转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为_【答案】，【分析】设，得，解得，当时，方程无实数解，当时，解得，解：设，则原方程变形为：，解关于的方程得，当时，方程无实数解，当时，解得，经检验，是原方程的解，故答案为：，【点拨】本题考查换元法解无理方程，解题的关键是读懂题意，掌握换元法类型二、解一元二次方程换元法解方程3（河南南阳九年级统考期中）阅读下列材料：已知实数、满足，试求的值解：设则原方程可化为，即；解得，上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部
6、分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化根据以上阅读材料内容，解决下列问题：(1) 已知实数、满足，求的值(2) 解方程(3) 若四个连续正整数的积为120，直接写出这四个连续的正整数为【答案】(1) (2) ，(3) 2，3，4，5【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得；（2）设，则原方程可化为，解方程求得或2，再分别求得的值即可；（3）设最小的正整数为，则另三个分别为、，根据题意可得方程，整理为，设，则原方程变为，解方程求得或10，由于是正整数，可得，所以，再解方程求得的值即可（1）解：设，则，即，（2）解：设，则原方程可化为：解得：，
7、当时，；当时，原方程的解是：，（3）解：设最小数为，则，即：，设，则，（舍去），这四个整数为2，3，4，5【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键举一反三：【变式1】（全国九年级专题练习）解下列方程：(1) ；(2) 【答案】(1) x1，x2，x3，x4(2) 【分析】（1）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解；（2）利用换元法，先设，然后根据解一元二次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解（1）解：设则或解得，或或解得，x1，x2，x3，x4；（2）解：设，则，或，解得，或，或，解得，【点
8、拨】本题考查换元法在一元二次方程的求解中的应用，掌握该方法是解题关键【变式2】（广东江门九年级校考期中）请阅读下列解方程的过程解：设，则原方程可变形为，即，得，当，当，无解所以，原方程的解为，这种解方程的方法叫做换元法用上述方法解下面两个方程：(1) ；(2) 【答案】(1) ，(2) ，【分析】（1）仿照例题方法和步骤解方程即可；（2）设，进而利用解一元二次方程的方法步骤求解即可（1）解：设，则原方程可变形为，即，解得：，当时，当，无解所以，原方程的解为，（2）解：设，则原方程可变形为，即，解得：，当时，即，当时，即，解得：所以，原方程的解为，【点拨】本题考查解一元二次方程，看懂题中例题的解
9、法，会利用类比的方法求解一元二次方程是解答的关键类型三、解一元二次方程换元法解方程（中考真题专练）4（湖北荆州统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），解：设，则有，原方程可化为：，续解：【答案】，【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解解：续解：，解得，（不合题意，舍去），经检验都是方程的解【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法看懂提示是解决本题的关键换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元举一反三：【变式1】（内蒙古呼和浩特中
10、考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题已知实数x，y满足，求的值【答案】26【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值.解：令，则原方程组可化为：，整理得：，-得：，解得：，代入可得：b=4，方程组的解为：或，当时，代入，可得，此时，方程无解，故不符合题意；当时，=26，因此的值为26【
11、点拨】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键【变式2】（四川遂宁统考中考真题）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题计算：（1）（+）（1）（+）令+=t，则原式=（1t）（t +）（1t）t=t+t2tt +t2=，问题：12（1）计算：（1）（+）（1）（+）；13（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7【答案】12；13x=0或x=5【分析】（1）设，则原式=，进行计算即可；（2）设，则原方程化为：，求出t的值，再解一元二次方程即可12设，则原式=；13设，则原方程化为：，解得：或，当时，；当时，=254180，此时方程无解；即原方程的解为：，【点拨】本题主要考查了换元法解一元二次方程、有理数的混合运算等知识，解题的关键是学会用换元的思想解决问题
