1、第1讲函数的概念及其表示1函数的概念 函数两集合A，B设A，B是两个非空的实数集对应关系f：AB对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记法yf(x)，xA2函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.3函数的三要素：定义域、对应关系和值域.4同一个函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数5函数的表示法表示函数的常
2、用方法有：解析法、列表法、图象法.6分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数1函数问题允许多对一，但不允许一对多与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点2分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数1下列关于x，y的关系中，y是x的函数的是()AyBy24xCyD. x1234y00611答案D解析对于A，由解得x，所以y不是x的函数；对于B，当x0时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数；对于C，当x1时，有两个y与x对应，所以y不是x的函数，可改为
3、y对于D，满足y是x的函数故选D.2下列四组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1与yBy与yCy4lg x与y2lg x2Dy()3与yx答案D解析A中，yx1与y|x1|的解析式不同，两函数不是同一个函数；B中，y的定义域为1，)，y的定义域为(1，)，定义域不同，两函数不是同一个函数；C中，y4lg x与y2lg x24lg |x|的解析式不同，两函数不是同一个函数；D中，y()3x的定义域为R，yx的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数是同一个函数故选D.3(2021内蒙古巴彦淖尔一中月考)函数f，则函数f(x)的解析式是()Af(x)(x0，1)Bf(x)1x(x0)Cf(x)(
4、x0，1)Df(x)x(x0)答案A解析令t，t0，1.则有x，所以f(t)，t0，1，所以f(x)，x0，1.故选A.4已知函数f(x)则f(2)_.答案2解析由已知得，f(2)f(1)212.5函数yf(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是_，值域是_，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_.(注：图中f(x)的图象与直线x3无限靠近但无公共点)答案3,0(1,3)(0，)(0,1)(3，)解析求f(x)的定义域可看f(x)的图象上所有点的横坐标的取值构成的集合，易知为3,0(1,3)；求f(x)的值域可看f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值构成的集合，易知为(0，)；作直线ym
5、，可知当m(0,1)(3，)时，直线ym与f(x)的图象有唯一公共点，所以只有唯一的x值与之对应的y值的范围是(0,1)(3，).考向一函数的概念例1(1)下列选项中，y可表示为x的函数的是()A3|y|x20 BxyCln yx2 Dy22x答案C解析对于A，当x3时，y2，不符合函数的定义；对于B，当x4时，y8，不符合函数的定义；对于C，符合函数的定义；对于D，当x2时，y2，不符合函数的定义故选C.(2)(多选)下列各组函数是同一个函数的是()Af(x)x22x1，g(s)s22s1Bf(x)x1，g(x)Cf(x)，g(x)Df(x)，g(x)x答案AC解析对于A，两个函数的定义域、
6、对应关系都相同，是同一个函数；对于B，两个函数的定义域不同，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域都是R，都可以化为y|x|，对应关系也相同，是同一个函数；对于D，f(x)的定义域为(，0，g(x)的定义域为(，0，但f(x)|x|x，两个函数的对应关系不同，不是同一个函数故选AC. 函数的含义及判断两个函数相同的方法(1)函数的含义A，B是非空的实数集函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素在集合A中有无元素与之对应，有几个元素与之对应却无所谓只有深刻理解函数的概念才能在解决此类问题时游刃有余(2)判断两个函数相同的方法构成函数的三要素中，
7、定义域和对应关系相同，则值域一定相同两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数1.下列所给图象是函数图象的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析中，当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；中，当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象；中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象故选B.多角度探究突破考向二函数的定义域角度求具体函数的定义域例2(1)(2021新乡三模)函数f(x)的定义域是()A(0,1)(1,4 B(0,4C(0,1) D(0,1)4，)答案A解析函数f(x)中，令得解得即0x4且x1，所以函数f(x)的定义域是(0,1)(1,4故选A.
8、(2)已知函数f(x)的定义域是R，则实数a的取值范围是()A. B(12,0C(12,0) D答案B解析因为函数f(x)的定义域是R，所以ax2ax30对任意实数x都成立当a0时，显然成立；当a0时，需a212a0，解得12a0.综上所述，实数a的取值范围为120，且a1)要满足f(x)0.(5)正切型tanf(x)要满足f(x)k，kZ.2.函数y(2x5)0的定义域为_.答案解析所以函数y的定义域为.3函数ylog2(tanx1)的定义域为_.答案解析要使函数ylog2(tanx1)有意义，则1x20，且tanx10，且xk(kZ)1x1且kxk，kZ，解得0，即2x4x，则0的解集为(
9、)A(1,0)(1，)B(，1)(1，)C(1,0)(0，1)D(，1)(1，)答案A解析当x0时，log3(x1)log3x1，x1；当x21x1，1x的解集为(1,0)(1，)(2)(2021河北衡水中学调研)已知f(x)x21，g(x)求f(g(2)与g(f(2)；求f(g(x)与g(f(x)的解析式解由已知条件可得g(2)1，f(2)3，因此f(g(2)f(1)0，g(f(2)g(3)2.当x0时，g(x)x1，故f(g(x)(x1)21x22x；当x1或x0，故g(f(x)f(x)1x22；当1x1时，f(x)0，故g(f(x)2f(x)3x2.所以g(f(x) 分段函数问题的求解策
10、略(1)在求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的解析式求解当自变量的值不确定时，要分类讨论(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验解得的自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围9.已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()A2 B2 C3 D3答案B解析由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)319，f(f(3)f(9)log392.故选B.10设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(
11、，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析f(x)函数f(x)的图象如图所示结合图象知，要使f(x1)f(2x)，则需或x0恒成立当a0时，不等式为20，恒成立；当a0时，要使不等式恒成立，则即解得0a.由得0a0且a1)答案CD解析对于A，f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；对于C，g(x)x(xR)，两函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函数；对于D，g(x)logaaxx，xR，两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一个函
12、数故选CD.10(2021福建泉州模拟)已知函数f(x)则()Af(5)1 Bf(f(5)1Cf(3)9 Df(f(3)log37答案AB解析根据题意，函数f(x)对于A，f(5)log3(52)log331，A正确；对于B，f(f(5)f(1)301，B正确；对于C，f(3)log3(32)log310，C错误；对于D，f(f(3)f(0)31，D错误故选AB.11下列函数中，满足f(18x)18f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x2 Df(x)2x答案ABD解析若f(x)|x|，则f(18x)|18x|18|x|18f(x)；若f(x)x|x|，则f(18x)1
13、8x|18x|18(x|x|)18f(x)；若f(x)x2，则f(18x)18x2，而18f(x)18x182，故f(x)x2不满足f(18x)18f(x)；若f(x)2x，则f(18x)218x18(2x)18f(x)故选ABD.12(2022滨州月考)具有性质ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数满足“倒负”变换的是()Ayx ByxCy Dyx3答案ACD解析(逐项验证法)对于A，fxf(x)，满足“倒负”变换；对于B，fxf(x)，不满足“倒负”变换；对于C，f满足ff(x)，满足“倒负”变换；对于D，fx3，满足ff(x)，满足“倒负”变换故选ACD.三、填空题13
14、(2021成都诊断)已知函数f(x)则不等式xf(x1)10的解集是_.答案(5,5)解析f(x)f(x1)则不等式xf(x1)10等价于或即3x5或5x3，5xg(f(x)的x的值是_.答案12解析g(1)3，f(g(1)f(3)1.当x1时，f(g(1)1，g(f(1)g(2)2，不满足f(g(x)g(f(x)；当x2时，f(g(2)f(2)3，g(f(2)g(3)1，满足f(g(x)g(f(x)；当x3时，f(g(3)f(1)2，g(f(3)g(1)3，不满足f(g(x)g(f(x)，当x2时，f(g(x)g(f(x)成立15已知函数f(x)满足f2f3x，则f(2)_.答案解析由题意可
15、得解得令22，可得x，则f(2)3.16(2021滨州二模)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下的不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式：_.答案k(答案不唯一)解析由题意，函数k(x)是160,190上的增函数，设k(x)axb(a0)，x160,190，由解得所以k(x)x，所以k四、解答题17. 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离在
16、某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度解(1)由题意及函数图象，得解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是70 km/h.18已知函数f(x).(1)求f(2)与f，f(3)与f；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f 有什么关系？证明你的发现；(3)求f(2)ff(3)ff(2023)f的值解(1)f(x)1，f(2)1，f1.f(3)1，f1.(2)由(1)中求得的结果发现f(x)f1.证明如下：f(x)f1.(3)由(2)知f(x)f1，f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2023)f1.f(2)ff(3)ff(2023)f2022.
