1、星期六(解答题综合练)2022年_月_日1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m(a，c)，n(cos C，cos A)(1)若mn，ca，求角A；(2)若mn3bsin B，cos A，求cos C的值解(1)mn，acos Accos C.由正弦定理得sin Acos Asin Ccos C，化简得sin 2Asin 2C.A，C(0，)，2A2C(舍)或2A2C，AC，B，在RtABC中，tan A，A.(2)mn3bcos B，acos Cccos A3bsin B.由正弦定理得sin Acos Csin Ccos A3sin2B，从而sin(AC)3sin2B.AB
2、C，sin(AC)sin B，从而sin B，cos A0，A(0，)，A，sin A.sin Asin B，ab，从而AB，B为锐角，cos B.cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B.2如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点(1)求证：BF平面A1EC；(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.证明(1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OAOC1.又因为F为AC的中点，所以OFCC1且OFCC1.因为E为BB1的中点，所以BECC1且BECC1，所以BEO
3、F且BEOF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE，因为ABCB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BFOE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆
4、”(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为PA1A2的垂心(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e.设椭圆C2的方程为1(ab0)，则b.因为，所以a2.所以椭圆C2的方程为1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则1，从而y122x.将xx0代入1得1，从而y23，即y.因为P，H在x轴的同侧，所以取y，即H(x0，)所以kA1PkA2H1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为PA1A2的垂心4如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半
5、圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BCa，ABC，设ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，表示S1和S2；(2)当a固定，变化时，求的最小值解(1)S1asin acos a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ，RCxtan ，xtan xa，x，S2.(2)当a固定，变化时，令sin 2t，则(0t1)，利用单调性求得t1时，.5已知无穷数列an的各项均为正整数，Sn为数列an的前n项和(1)若数列an是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3(Sn)3成立，求数列an的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合a1，a2，a
6、n中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合()求a1，a2的值；()求数列an的通项公式解(1)设无穷等差数列an的公差为d，因为Sn3(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n1，n2时，则有：因为数列an的各项均为正整数，所以d0.可得a11，d0或d2.当a11，d0时，an1，Sn3(Sn)3成立；当a11，d2时，Snn2，所以Sn3(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an1或an2n1.(2)()记An1，2，Sn，显然a1S11.对于S2a1a21
7、a2，有A21，2，Sn1，a2，1a2，|1a2|1，2，3，4，故1a24，所以a23.()由题意可知，集合a1，a2，an按上述规则，共产生Sn个正整数而集合a1，a2，an，an1按上述规则产生的Sn1个正整数中，除1，2，Sn这Sn个正整数外，还有an1，an1i，|an1i|(i1，2，Sn)，共2Sn1个数所以，Sn1Sn(2Sn1)3Sn1.又Sn13，所以Sn3n13n.当n2时，anSnSn13n3n1.而a11也满足an3n1.所以，数列an的通项公式是an3n1.6已知函数f(x)aln x(a为常数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直
8、，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x1时，f(x)2x3恒成立，求a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为x|x0，f(x).又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线x2y50垂直，所以f(1)a12，即a1.(2)由f(x)(x0)，当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，由f(x)0，得0x，所以f(x)的单调增区间为；由f(x)0，得x，所以f(x)的单调减区间为.(3)设g(x)aln x2x3，x1，)，则g(x)2.令h(x)2x2ax1，考虑到h(0)10，当a1时，h(x)2x2ax1的对称轴x1，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)a10，所以g(x)0，g(x)在1，)上是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)2x23恒成立当a1时，令h(x)2x2ax10，得x11，x20，当x1，x1)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在1，x1)上是增函数；当x(x1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(x1，)上是减函数所以0g(1)g(x1)，即f(x1)2x13，不满足题意综上，a的取值范围为a1.6
