1、2016-2017学年河南省焦作市博爱一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题.（12*5=60分）1若命题p：x=2且y=3，则p是（）Ax2或y=3Bx2且y3Cx=2或y3Dx2或y32已知i为虚数单位，若复数z满足z（i）=2015+2016i，则为（）A2015+2016iB20152016iC2016+2015iD20162015i3已知等差数列a的前n项和为Sn，公差为d，且a1=20，则“3d5”是“Sn的最小值仅为S6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4函数的单调减区间（）A（1，1B（0，1C（1，+）D（0，+）5设a=lo
2、g32，b=ln2，c=，则（）AabcBbcaCcabDcba6已知x0，由不等式x+2=2，x+=3=3，可以推出结论：x+n+1（nN*），则a=（）A2nB3nCn2Dnn7若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB8C2D28设Sn是等差数列an的前n项和，若，则=（）A1B2C3D49如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A3B4C5D610某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A4B12C48D611已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m
3、的取值范围是（）A（，4）BCD12已知椭圆T： +=1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A1BCD2二、填空题（每小题5分，共20分）13= 14已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k= 15在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=（b+c）2，则cosA等于 16从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离小于的概率 三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知abc，且a+b+c=0，求证：18某学校在高一、高二两个
4、年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如下表：高一高二总数合格人数70x150不合格人数y2050总数100100200（1）求x、y的值；（2）有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；（3）用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取5人的辅导小组，在5人中随机选2人，这2人中正好高一、高二各1人的概率为多少参考公式：25.0246.6357.87910.82897.5%99%99.5%99.9%19如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理
5、由；（II）证明：平面PAB平面PBD20正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（n2+n1）Sn（n2+n）=0（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn21已知椭圆M： +=1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值22已知函数f（x）=ax1+lnx，其中a为常数（1）当a（，）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为4，求a的值；（2）当a=时，若函数g（x）=|f（x）|存在零点，求实
6、数b的取值范围2016-2017学年河南省焦作市博爱一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题.（12*5=60分）1若命题p：x=2且y=3，则p是（）Ax2或y=3Bx2且y3Cx=2或y3Dx2或y3【考点】2J：命题的否定【分析】由已知中命题p：x=2且y=3，根据否定命题的写法，我们易得到命题p的否定为：x2或y3，得到答案【解答】解：由已知中命题p：x=2且y=3，得到命题p的否定为：x2或y3，故选D2已知i为虚数单位，若复数z满足z（i）=2015+2016i，则为（）A2015+2016iB20152016iC2016+2015iD20162015i
7、【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：z（i）=2015+2016i，z（i）i=i，z=2016+2015i，则=20162015i，故选：D3已知等差数列a的前n项和为Sn，公差为d，且a1=20，则“3d5”是“Sn的最小值仅为S6”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用Sn的最小值仅为S6，可得a60，a70，求出d4，根据集合的包含关系判断即可【解答】解：Sn的最小值仅为S6，a60，a70，d4，3d5”是d4的必要不充分条件，故选
8、：B4函数的单调减区间（）A（1，1B（0，1C（1，+）D（0，+）【考点】3G：复合函数的单调性【分析】求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于0求得x的范围得答案【解答】解：函数的定义域为（0，+），f（x）=x=，由f（x）0，得x1或0x1，又函数定义域为（0，+），函数的单调减区间为（0，1故选：B5设a=log32，b=ln2，c=，则（）AabcBbcaCcabDcba【考点】4M：对数值大小的比较；4I：换底公式的应用【分析】根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系【解答】解：a=log32=，b=ln2=，而log
9、23log2e1，所以ab，c=，而，所以ca，综上cab，故选C6已知x0，由不等式x+2=2，x+=3=3，可以推出结论：x+n+1（nN*），则a=（）A2nB3nCn2Dnn【考点】F1：归纳推理【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=+，再结合不等式的性质，可得为定值，解可得答案【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简消去根号，得到右式；对于给出的等式，x+n+1，要先将左式x+变形为x+=+，在+中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式，必有为定值，可得a=nn，故选D7若点P（a，b）在函数y=x2+3lnx
10、的图象上，点Q（c，d）在函数y=x+2的图象上，则（ac）2+（bd）2的最小值为（）AB8C2D2【考点】IS：两点间距离公式的应用【分析】先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=x2+3lnx相切的直线y=x+m再求出此两条平行线之间的距离（的平方）即可得出【解答】解：设直线y=x+m与曲线y=x2+3lnx相切于P（x0，y0），由函数y=x2+3lnx，y=2x+，令2x0+=1，又x00，解得x0=1y0=1+3ln1=1，可得切点P（1，1）代入1=1+m，解得m=2可得与直线y=x+2平行且与曲线y=x2+3lnx相切的直线y=x2而两条平行线y=x+2与y=x2的距离d=2（a
11、c）2+（bd）2的最小值=（2）2=8故选：B8设Sn是等差数列an的前n项和，若，则=（）A1B2C3D4【考点】8F：等差数列的性质【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质解答【解答】解：，=3，故选：C9如图所示的程序框图，它的输出结果是（）A3B4C5D6【考点】E7：循环结构【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句k=k+1，从而到结论【解答】解：k=0，a=45时，sina=cosa不满足判断框中的条件，k=1，a=90时，sinacosa，不满足判断框中的条件，k=2，a=135时，sinacosa，不满足判
12、断框中的条件，k=3，a=180时，sinacosa，不满足判断框中的条件，k=4，a=225时，sina=cosa，不满足判断框中的条件，k=5，a=270时，sinacosa，满足判断框中的条件，即输出的结果为5，故答案为：C10某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A4B12C48D6【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥PBCD，作PA底面BCD，垂足为A，底面ABCD是边长为2的正方形则该几何体外接球的直径2R=【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥PBCD，作PA底面BCD，垂足为A，底面ABCD是边长为2的正方形则该
13、几何体外接球的直径2R=2表面积为=4R2=12故选：B11已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（）A（，4）BCD【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】首先根据函数的表达画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与图象恰有三个不同的公共点的关系即可求得实数a的取值范围【解答】解：画出函数图象如图所示，由图可知，当直线y=mx（mR）与函数的图象相切时，设切点A（2+1），则f（x）=x，k=m=x0，即直线y=mx过切点A（2+1）时，有唯一解m=，结合图象得，当直线y=mx与函数y=f（x）的图象恰
14、好有3个不同的公共点时，则实数m的取值范围是m，故选B12已知椭圆T： +=1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（）A1BCD2【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），y1=3y2，设，b=t，x2+4y24t2=0，设直线AB方程为，代入中消去x，可得，解得，故选B二、填空题（每小题5分，共20分）
15、13=【考点】GT：二倍角的余弦【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值【解答】解：cos2sin2=cos（2）=cos=故答案为：14已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=6【考点】7C：简单线性规划【分析】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A时，纵截距最大，z最大【解答】解：画出可行域将z=x+3y变形为y=，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，k=6故答案为615在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a
16、2=（b+c）2，则cosA等于【考点】HR：余弦定理【分析】由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式即可化简可得17cos2A+32cosA+15=0，进而可求cosA的值【解答】解：由题意可得：S=bcsinA=（b+c）2a2=b2+c2a2+2bc，又b2+c2a2=2bccosA，bcsinA=2bccosA+2bc，整理可得：sinA=4cosA+4，两边平方可得：1cos2A=16cos2A+16+32cosA，整理可得：17cos2A+32cosA+15=0，解得：cosA=，或1（舍去）故答案为：16从圆x2+y2=4内任取一点p，则p到直线x+y=1的距离
17、小于的概率【考点】CF：几何概型【分析】利用点到直线的距离公式求出满足条件的点的弧长、几何概型的计算公式即可得出【解答】解：由点到直线的距离公式得点O到直线x+y=1的距离为=，故到直线x+y=1距离为的点在直线x+y=0和x+y+2=0上，满足P到直线x+y=1的距离小于的点位于两直线之间的弧上，且两段弧度和为90故概率P=故答案为：三、解答题（本大题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知abc，且a+b+c=0，求证：【考点】R6：不等式的证明【分析】本题宜用分析法证欲证要证a，平方后寻求使之成立的充分条件即可【解答】证明：因为abc，且a+b+c=0，所以a0，c0，要
18、证明原不等式成立，只需证明a，即证b2ac3a2，即证b2+a（a+b）3a2，即证（ab）（2a+b）0，即证（ab）（ac）0abc，（ab）（ac）0成立原不等式成立18某学校在高一、高二两个年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如下表：高一高二总数合格人数70x150不合格人数y2050总数100100200（1）求x、y的值；（2）有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；（3）用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取5人的辅导小组，在5人中随机选2人，这2人中正好高一、高二各1人的概率为多少参考公式：25.0246.6357.8791
19、0.82897.5%99%99.5%99.9%【考点】BO：独立性检验的应用【分析】（1）利用表格，即可求x、y的值；（2）计算22.676.635，即可得出没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；（3）用分层抽样的方法，高一3人，设为A、B、C，高二2人，设为1、2，即可求出这2人中正好高一、高二各1人的概率为多少【解答】解：（1）x=15070=80，y=5020=30（2）2=2.676.635，没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；（3）高一3人，设为A、B、C，高二2人，设为1、2则符合情况的选法有：（AB）（AC）（A1
20、）（A2）（BC）（B1）（B2）（C1）（C2）（12）这2人中正好高一、高二各1人的概率为19如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB平面PBD【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（I）M为PD的中点，直线CM平面PAB取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则MEPA，证明平面CME平面PAB，即可证明直线CM平面PAB；（II）证明：BD平面PAB，即可证明平面PAB平面PBD【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM
21、平面PAB取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则MEPA，ME平面PAB，PA平面PAB，ME平面PABADBC，BC=AE，ABCE是平行四边形，CEABCE平面PAB，AB平面PAB，CE平面PABMECE=E，平面CME平面PAB，CM平面CME，CM平面PAB；（II）PACD，PAB=90，AB与CD相交，PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，由（I）及BC=CD=AD，可得BAD=BDA=45，ABD=90，BDAB，PAAB=A，BD平面PAB，BD平面PBD，平面PAB平面PBD20正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（n2+n1）Sn（n2+n）=0（1）求数列a
22、n的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn，证明：对于任意的nN*，都有Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）因式分解可得（Sn（n2+n）（Sn+1）=0，从而求得Sn=n2+n，从而判断出an为等差数列，从而解得；（2）裂项bn=（），从而求其前n项和前证明不等式即可【解答】解：（1）Sn2（n2+n1）Sn（n2+n）=0，（Sn（n2+n）（Sn+1）=0，Sn=n2+n，或Sn=1（舍去），故正项数列an为等差数列，其中a1=1+1=2，a2=S2S1=4，故an=2+2（n1）=2n；（2）bn=（），Tn=（1+）=（1+）=（+）；故Tn2
23、1已知椭圆M： +=1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【考点】K4：椭圆的简单性质【分析】（）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（）当直线l不存在斜率时可得，|S1S2|=0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值【解答】解：（
24、）因为F（1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b=，所以a=2，所以椭圆方程为=1；（）直线l无斜率时，直线方程为x=1，此时D（1，），C（1，），ABD，ABC面积相等，|S1S2|=0，当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，显然0，方程有根，且x1+x2=，x1x2=，此时|S1S2|=2|y1|y2|=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|=，（k=时等号成立）所以|S1S2|的最大值为22已知函数f（
25、x）=ax1+lnx，其中a为常数（1）当a（，）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为4，求a的值；（2）当a=时，若函数g（x）=|f（x）|存在零点，求实数b的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）当a（，）时，函数在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，利用f（x）在区间（0，e）上的最大值为4，即可求a的值；（2）由题意，|f（x）|=+有实数根，求出|f（x）|1，令h（x）=+，求出h（x）max=h（e）=+，可得h（x）max=h（e）=+1，即可求实数b的取值范围【解答】解：（1）f（x）=a+=0，x=a（，），函数在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，x=时，函数取得最大值，11+ln（）=4，a=e2（2）由题意，|f（x）|=+有实数根当a=时，f（x）=1+lnx，f（x）=，0xe时，f（x）0，xe时，f（x）0，f（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+），f（x）max=f（e）=1，|f（x）|1，令h（x）=+，则h（x）=，0xe时，h（x）0，xe时，h（x）0，h（x）的单调增区间为（0，e），减区间为（e，+），h（x）max=h（e）=+，|f（x）|=+有实数根h（x）max=h（e）=+1，b22017年7月23日
