1、第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解点到直线距离公式的推导方法(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题(重点、难点)通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养自 主 预 习 探 新 知 1点到直线的距离(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与 之间的距离，就是该点到直线的距离(2)公式：点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_垂足|Ax0By
2、0C|A2B2思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？提示 要求直线的方程应化为一般式2两平行直线间的距离(1)概念：夹在两条平行直线间的 的长度就是两条平行直线间的距离(2)公式：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20之间的距离 d_公垂线段|C1C2|A2B2思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？提示 两条平行直线的方程都是一般式，且 x,y 对应的系数应分别相等D d|0205|1222 5.1原点到直线 x2y50 的距离为()A1 B 3 C2 D 5C d|7（12）|32421.2两条平行线 l1：3x4y70 和 l2：3x
3、4y120 的距离为()A3 B2 C1 D.125 d|3(2)|5.3分别过点 A(2，1)和点 B(3，5)的两条直线均垂直于 x 轴，则这两条直线间的距离是_4 由|m11|1212 2，得 m4 或 m0，又m0，m4.4若第二象限内的点 P(m，1)到直线 xy10 的距离为 2，则 m 的值为_合 作 探 究 释 疑 难 点到直线的距离【例 1】求点 P(3，2)到下列直线的距离：(1)y34x14；(2)y6；(3)x4.解(1)把方程 y34x14写成 3x4y10，由点到直线的距离公式得 d|334（2）1|32（4）2185.(2)法一：把方程 y6 写成 0 xy60，
4、由点到直线的距离公式得 d|03（2）6|02128.法二：因为直线 y6 平行于 x 轴，所以 d|6(2)|8.(3)因为直线 x4 平行于 y 轴，所以 d|43|1.点到直线距离的求解方法(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合跟进训练1已知ABC 三个顶点坐标 A(1，3)，B(3，0)，C(1，2)，求ABC 的面积 S.解 由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为y020 x313，即 x2y30.由两点间距离公式得|BC|（31）2（02）22 5
5、，点 A 到 BC 的距离为 d，即为 BC 边上的高，d|1233|12（2）24 55，所以 S12|BC|d122 54 55 4，即ABC 的面积为 4.两条平行线间的距离【例 2】(1)两直线 3xy30 和 6xmy10 平行，则它们之间的距离为_(2)已知直线 l 与两直线 l1：2xy30 和 l2：2xy10 的距离相等，则 l 的方程为_(1)104 (2)2xy10(1)由题意，得63m1，m2，将直线 3xy30 化为 6x2y60，由两平行线间距离公式，得|16|6222 540 104.(2)设直线 l 的方程为 2xyC0，由题意，得|3C|2212|C1|221
6、2，解得 C1，直线 l 的方程为 2xy10.求两条平行线间距离的方法(1)求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1：ykxb1，l2：ykxb2，且 b1b2 时，d|b1b2|k21；当直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 且 C1C2 时，d|C1C2|A2B2.但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等(2)转化为一条平行线上的点到另一条平行线的距离跟进训练2求与直线 l：5x12y60 平行且与直线 l 距离为 3 的直线方程解 设与 l 平行的直线方程为 5x12yb0，根据两平行直线间的距离公式得|b6|52（12）23，解得 b45
7、 或 b33.所以所求直线方程为：5x12y450，或 5x12y330.距离公式的综合应用探究问题1.两条互相平行的直线分别过点 A(6，2)和 B(3，1)，并且各自绕着点 A，B 同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为 d，你能求出 d 的变化范围吗？提 示 如 图 所 示，显 然 有0d|AB|，而|AB|（63）2（21）23 10，故所求的 d 的变化范围为(0,3 10.2.上述问题中当 d 取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？提示 当 d 取最大值时，两条平行线都垂直于 AB，所以 k 1kAB12（1）6（3）3，故所求的直线方程分别为 y23(x6
8、)和y13(x3)，即 3xy200 和 3xy100.【例 3】已知正方形的中心为直线 2xy20，xy10的交点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x3y50，求正方形其他三边所在直线的方程思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边 l 平行或垂直求解解 设与直线 l：x3y50 平行的边所在的直线方程为 l1：x3yc0(c5).由2xy20，xy10，得正方形的中心坐标为 P(1，0)，由点 P 到两直线 l，l1 的距离相等，得|15|1232|1c|1232，得 c7或 c5(舍去).l1：x3y70.又正方形另两边所在直线与 l 垂直，设另
9、两边所在直线的方程分别为 3xya0，3xyb0.正方形中心到四条边的距离相等，|3a|32（1）2|15|1232，得 a9 或 a3，另两条边所在的直线方程分别为 3xy90，3xy30.另三边所在的直线方程分别为 3xy90，x3y70，3xy30.1求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程解 由例题知，正方形中心坐标为 P(1，0)，则与 OP 垂直的直线到原点的距离最大kOP0，此时所求直线方程为 x1.2本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？解 由x3y70，3xy30可得交点坐标为15，125，又正方形中心为 P(1，0)，由两点式方程得对角线方程为：y012
10、5 0 x1151，即 2xy20.由3xy30，x3y50可得正方形另一顶点坐标为75，65，又正方形中心为 P(1，0)，由两点式得另一对角线方程为：y0650 x1751，即 x2y10.综上可知正方形的两条对角线方程为 x2y10 或 2x2y20.距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的
11、位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解课 堂 小 结 提 素 养 1对点到直线的距离公式的两点说明(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离(2)结构特点：公式中的分子是用点 P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的 x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的 x，y 的系数的平方和的算术平方根特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式2对两条平行直线间的距离的两点说明(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).(2)两条平行直线间的距离公式除了将两平行直线
12、间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式 d|C2C1|A2B2.A 直线 x20，即 x2 为平行于 y 轴的直线，所以点(5，3)到 x2 的距离 d|5(2)|7.1点(5，3)到直线 x20 的距离等于()A7 B5 C3 D2B 两平行线间的距离为 d|1（c）|12（2）22 5，解得 c9或 11.2直线 x2y10 与直线 x2yc0 的距离为 2 5，则 c 的值为()A9 B11 或9 C11 D9 或11C|OP|的最小值是点 O 到直线 xy40 的距离，由点到直线的距离公式得d|004|1212 2 2，故应选 C.3点 P(x，y)在直
13、线 xy40 上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是()A 7B 6C2 2D 5x2y20 由题意设所求 l 的方程为 x2yC0，则|C4|1222|C|1222，解得 C2，故直线 l 的方程为 x2y20.4直线 l 到直线 x2y40 的距离和原点到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程是_5已知直线 l 经过点(2，3)，且原点到直线 l 的距离等于 2，求直线 l 的方程解 当直线 l 的斜率不存在时，直线的方程为 x2，符合原点到直线 l 的距离等于 2.当直线 l 的斜率存在时，设所求直线 l 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，由 d|002k3|1k22，得 k 512，即直线 l 的方程为 5x12y260.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
