1、第二章 数列单元复习【知识点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列an的性质（1）am=ak+（mk）d，d=.（2）若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3
2、n，则A、B、C成等差数列.（6）若数列an的项数为2n（nN*），则S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列an的项数为2n1（nN*），则S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an为中间项）.2.等比数列an的性质（1）am=akqmk.（2）若数列an是等比数列，则数列1an（1为常数）是公比为q的等比数列；若bn也是公比为q2的等比数列，则1an2bn（1、2为常数）也是等比数列，公比为qq2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l
3、，则aman=akal，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1a2an，N=an+1an+2a2n，P=a2n+1a2n+2a3n，则M、N、P也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为ad，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a3d，ad，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，aq，aq3.（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数
4、列，an=a1+（n1）d=dn+（a1d），当d0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、qR）.当p=0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn1.可用指数函数的性质来理解.当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列.当q=1时，是一个常数列.当q
5、0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.【典型例题】例1已知数列an，构造一个新数列a1，（a2a1），（a3a2），（anan1），此数列是首项为1，公比为的等比数列.（1）求数列an的通项；（2）求数列an的前n项和Sn.例2在等比数列an（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.例3已知an是等比数列，a1=2， a3=18；bn是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+b3n2， Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.例4 已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n均有+=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n项和Sn.
