1、2013届高三模拟考试数学试卷YCY一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。1已知全集R，集合02，则A = 2若复数满足（是虚数单位），则其共轭复数=_ I2S0While Im SS+I II+3End WhilePrint SEnd时速3080706050400.0390.0280.0180.010.0053下面求的值的伪代码中，正整数的最大值为 （第4题）（第3题）4200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图上右图所示，则时速超过70km/h的汽车数量为_ 辆. 5一只口袋有形状，大小都相同的只小球，其中只白球，只
2、红球。从中一次随机摸出只球，则只球不同色的概率是。6如图，为边长为a的正方体，分别是的中点，过作正方体截面，若截面平行于平面，则截面的面积为 7在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“ 为钝角三角形”的 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）8函数的定义域为 9已知曲线恒过定点且成等差数列， 10已知圆C：，点是直线l：上的动点，若在圆C上总存在不同的两点A，B使得，则的取值范围是 11已知函数,若函数有两个不同的零点，则的取值范围为_ _.12在平面直角坐标系xOy中，对任意的实数m，集合A中的点(x，y)都不 在直线2mx(1m2)y4m20上
3、，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为 13设函数的定义域为，如果，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为，已知四个函数：；，上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 14设实数，满足，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15（本题满分14分）设函数ab，向量a =，b =，其中角的顶点与坐标原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边经过点,且0.(1)若点的坐标为,求的值；(2)若点为平面区域上的一个动点，试确定的取值范围，并求ABCDEF16（本题满分14分）如图，正方形ABCD和三角形ACE所在
4、的平面互相垂直，EFBD，AB=EF（1）求证：BF平面ACE；（2）求证：BFBD17（本题满分14分）交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10的公共汽车行驶的专用车道，据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前，后亮亮公共汽车间的安全距离（）与车速（）之间满足二次函数关系，现已知车速为15时，安全距离为8，车速为45时，安全距离为38；出现堵车状况时，两车安全距离为2（1）试确定关于的函数关系式；（2）车速（）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？18（本题满分16分）设椭圆方程，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两
5、点，AB=2（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值19（本题满分16分）已知数列中，为正整数（1）证明：数列为等比数列；（2）设，若数列的前项之和，并求使的的最小值20(本小题满分16分) 已知函数,.（1）若函数在其定义域内是单调增函数，求实数的取值范围；（2）若函数的图象被点分成的两部分为（点除外）,该函数图象在点处的切线为，求证：当时，分别完全位于直线的两侧.（3）试确定的取值范围,使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点加 试 题考试时间30分钟；满分40分21（本题共2小题；每题10分，共2
6、0分）B（选修4-2：矩阵与变换）在军事密码学中，发送密码时，先将英文字母数学化，对应如下表：abcdz123426 如果已发现发送方传出的密码矩阵为，双方约定人可逆矩阵为， 试破解发送的英文字母密码C（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为 (为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：（其中为常数）（1）求曲线M的普通方程；（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求的取值范围22（本小题满分10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2
7、，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上（1）若P是DF的中点， 求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度23（本小题满分10分）设是定义在R上的函数，（1）若，求g(x)；（2）若，求g(x)2013届高三模拟考试数学试卷答案 2013.6YCY一、填空题：1答案： 2答案：-i 3答案：2015 4答案：20；5答案：，由A-1,0,1,2得A的个数为，其中单元集有4个；6答案：，截面与侧面相交于EF，E、F分别是的中点，7答案：必要不充分，由得C=，故为钝角三角形，反之，为钝角三角形不只有8答案：9答案：6，曲线恒过定点，由成等差数列，所
8、以10答案：，因OAPB是棱形，故AB垂直平分OP，则当时，不存在，这时当时，且直线AB过点，直线AB方程为，圆心到直线AB的距离，即，且，化为，11.答案：或；由图象可得或12答案：；利用，得，13答案：-4令，再令，则是偶函数，先考虑（0,3，利用二分法解决，关键是（0,上的交点个数的判定，0，在（0,上有两个交点，在（，3上有2个交点，共有4个，在上有8个交点，其和为零，故答案是-414答案：；依题意由，使，设，则有，所以，令，则由，求得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，于是二、解答题：15解: (1) 由 且0得；-2分 ab =x+y-1=0xy011 - 6分 (2) 如图，作
9、出平面区域 由图形可得 -8分因为 所以 故的最小值 ; 的最大值-14分16（1）证明：设AC与BD的交于O，连结EO，在正方形ABCD中，BO=AB，AB=EF，BO=EF，-2分又EFBD，EFBO是平行四边形，-4分BFEO，BF平面ACE，EO平面ACEBF平面ACE -7分（2）在正方形ABCD中，ACBD，又正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD平面ABCD，平面ABCD平面ACE=AC，BD平面ACE， -10分EO平面ACEBDEO， -12分EOBF，BFBD -14分17解(1)不妨设，依题意,且由，-3分 若三条道路建设的费用相同， 则所以，所以，-5分由
10、两倍角的正切公式得，即-6分答：该文化中心建在离N村的距离为km；-7分(2)总费用，即-9分，得，-11分当时，当时，所以，当时，有最小值， 这时，-13分 答：该文化中心建在离N村的距离为km-14分（本题可建立直角坐标系用解析法来解决）17（备用题）分析：（1）-4分（2） -8分（3）分层抽样的比例为2：5：3：7：3，现共抽取20人，在，在共有10种可能结果列举为：-12分满足条件的结果有：，设满足的事件为A，则-14分18解：（1）因为，即，-2分过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2由椭圆的对称性知，椭圆过点，即-4分，解得， 椭圆方程为 -7分（2）证明：设，则，
11、化简为 -9分M，N是椭圆C上的点， 由得-11分所以（定值）-16分19解析：（1）由条件an12an22an，得2an114an24an1(2an1)2lg(2a11)lg30，-3分2lg(2an1)为等比数列-7分（2）lg(2a11)lg3，lg(2an1)2n1lg3，2an13，an(31)-9分lgTnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg3Tn3-11分2-，Sn2n2n2 -13分由Sn2014得2n22014，n+1008，当n1007时，n+1008，当n1008时，n+1008，n的最小值为1008-16分20解析：（1），-2分只需要，即，所
12、以-4分（2）证明：因为所以切线的方程为-6分令，则0，- -8分是单调增函数，当时，；当时，所以分别完全位于直线的两侧.-10分 （3）设点,则曲线在点处的切线为令,则,，当时在上单调递增,在上单调递减只有唯一解，而是任意选取的值,故不满足题意；-12分当时,记,则.(i)若,则在上单调递减,在上单调递增，在上单调递增只有唯一解(ii)若 ，则在上单调递减,在上单调递增此时存在,使得在和上单调递增,在上单调递减此时存在,使得，有两个零点.(iii)若 则在上单调递减,在上单调递增此时存在,使得在和上单调递增,在上单调递减此时存在,使得，有两个零点.综上所述,当时,曲线上存在唯一的点,曲线在该
13、点处的切线与曲线只有一个公共点.-16分加 试 题考试时间30分钟；满分40分21B令，则A=，由题意AX=X=B， -5分 故=， 发送方所传出的密码对应的数字是4、5、19、11， 故破解发送的密码是desk -10分（此题也可以用待定系数法求解）C（1）-2分得普通方程为（|x|）-5分（2）曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线，若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点（-，1）之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以-+1t+1满足要求，-8分相切时仍然只有一个公共
14、点，由t-x=x2-1,得x2+x-1-t=0,，得，的取值范围为-+1t+1或-10分22（1）因为BAF=90，所以AFAB， 因为 平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF 平面ABCD= AB， 所以AF平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系所以 ，所以 ，所以，即异面直线BE与CP所成角的余弦值为-5分 （2）解：因为AB平面ADF，所以平面APF的法向量为设P点坐标为，在平面APC中，所以 平面APC的法向量为， 所以 ， 解得，或（舍） 所以-10分 23解（1）若，则，所以 -3分又无意义，即R，且）-5分 （2）若，则所以因为-8分 所以 所以R，且）-10分
