1、学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件【解析】因为yx281，令y0，得x9.当0x0；当x9时，y0，右侧L(p)0)为比例系数依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)得b.于是y.(0a0)，求导数，得l2.令l0，解得y16或y16(舍去)当0y16时，l16时，l0.所以y16是函数l2y(y0)的极小值点，也是最小值点此时，x32.所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材
2、料最省【答案】32米16米7如图145，将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s，则s的最小值是_图145【解析】设DEx，则梯形的周长为3x，梯形的面积为(x1)(1x)(1x2)，s，x(0,1)，设h(x)，h(x).令h(x)0，得x或x3(舍)，h(x)最小值h8，s最小值8.【答案】8一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为_km/h.【解析】设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Qkx
3、3(k0)因为6k103，所以k，所以Qx3.所以行驶每千米的费用总和为yx2(x0)所以yx.令y0，解得x20.因为当x(0,20)时，y0，此时函数单调递增，所以当x20时，y取得最小值，即此轮船以20 km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小【答案】20二、解答题9如图146，一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？图146【解】 设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(82x) cm，宽为(52x) cm，V(82x)(52x)x4x326x240x，V12x252x40，令V0，得
4、x1或x(舍去)，V极大值V(1)18，在定义域内仅有一个极大值，所以V最大值18，即当小正方形的边长为1 cm时，盒子容积最大10(2016银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？【解】设每次进书x千册(0x0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，这时y800.当0x200时，y200时，y0.所以当x200时，y取得最小值，故其周长至少为800米【答案】8002要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
5、cm，要使其体积最大，则高为_cm.【解析】设该漏斗的高为x cm，体积为V cm3，则底面半径为 cm，Vx(202x2)(400xx3)(0x20)，则V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V0.所以当x时，V取得最大值【答案】3现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为_海里/时【解析】设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为
6、y元依题意得y(9600.6x2)300x，x(0，35则y300，x(0,35又当0x35时，y0，f(x)单调递增，x时，f(x)0，f(x)单调递减，故当x时，f(x)取最大值.【答案】5(2016广州高二检测)如图148所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？图148【解】设C点距D点x km，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
