1、第6节正弦定理和余弦定理考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理公式a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C2R常见变形cos A；cos B；cos C(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A2.在ABC中，已知a，b和A时
2、，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高).(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为内切圆半径).1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin Bcos
3、 Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC不一定为锐角三角形.2.(2021北京西城区一模)在ABC中，C60，a2b8，sin A6sin B，则c()A. B. C.6 D.5答案B解析因为sin A6sin B，由正弦定理可得a6b，又a2b8，所以a6，b1，因为C60，所以c2a2b22abcos C，即c26212216，解得c.3.(2022全国百校大联考)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x23
4、x20的两个实数根，且ABC的面积为，则C的大小是()A.45 B.60C.60或120 D.45或135答案D解析根据题意，得ab2，则2sin C，解得C45或C135.4.(2020全国卷)在ABC中，cos C，AC4，BC3，则tan B()A. B.2 C.4 D.8答案C解析由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C42322439，得AB3，所以ABBC.过点B作BDAC，交AC于点D，则ADAC2，BD，所以tan ABD，所以tan ABC4.5.(易错题)在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是()A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解
5、的个数不确定答案C解析由正弦定理得，sin B1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.(易错题)在ABC中，角A，B，C，满足sin Acos Csin Bcos C0，则三角形的形状为_.答案直角三角形或等腰三角形解析由已知得cos C(sin Asin B)0，所以cos C0或sin Asin B，解得C90或AB，所以ABC是直角三角形或等腰三角形.考点一利用正、余弦定理解三角形例1 (2021新高考卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2ac，点D在边AC上，BDsin ABCasin C.(1)证明：BDb.(2)若AD2DC，求cos ABC.(1)证明
6、因为BDsinABCasin C，所以由正弦定理得，BDbac，又b2ac，所以BDbb2，又b0，所以BDb.(2)解法一如图所示，过点D作DEBC交AB于E，因为AD2DC，所以2，所以BE，DEa.在BDE中，cosBED.在ABC中，cosABC.因为BEDABC，所以cosBEDcos ABC，所以，化简得3c26a211ac0，方程两边同时除以a2，得31160，解得或3.当，即ca时，cos ABC；当3，即c3a时，cos ABC1(舍).综上，cos ABC.法二因为2，所以，所以222.因为BDb，所以b2a2accosABCc2，所以9b24a24accosABCc2.又
7、b2aca2c22accosABC，所以，得8ac3a26accosABC，所以cosABC.由知所以11，所以61130，解得或.当时，cosABC；当时，cosABC(不合题意，舍去).所以cosABC.感悟提升(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.训练1 (1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C60，b，
8、c3，则A_.答案75解析由正弦定理，得sin B，所以B45或135，因为bc，所以B0，sin A1，即A，ABC为直角三角形.考点三和三角形面积有关的问题例3 (2021全国乙卷)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B60，a2c23ac，则b_.答案2解析由题意得SABCacsin Bac，则ac4，所以a2c23ac3412，所以b2a2c22accos B12248，则b2.例4 (2022湖北八校一联)在条件btan A(2cb)tan B，cos 2A2cos21，sin B2sin C中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答.在ABC中，角A，B，C的
9、对边分别为a，b，c，_，bc6，a2.(1)求角A的值；(2)求ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解(1)若选，由于ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A(2cb)tan B，由正弦定理得sin B(2sin Csin B).sin B0，sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A，即sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A.sin C0，cos A.又0A，A.若选，cos 2A2cos21，化简可得2cos2Acos A1，解得cos A或1，且A(0，)，A.若选，sin B2sin
10、C，即sin B2sin C，可得sin B2sin C，即sin B2sin C，解得sin A.又0A，A或.当A时，A是ABC的最大内角，则边a为ABC的最大力.则bc2a.这与bc6，a2矛盾，因此A不合题意，舍掉，则A.(2)由(1)及余弦定理可得a2b2c2bc(bc)23bc.由题知a2，bc6，bc4，SABCbcsin A4sin .感悟提升与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.训练3 (2020北京卷)在ABC中，ab11，再从条
11、件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和ABC的面积.条件：c7，cos A；条件：cos A，cos B.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.解选条件：c7，cos A，且ab11.(1)在ABC中，由余弦定理，得cos A，解得a8.(2)cos A，A(0，)，sin A.在ABC中，由正弦定理，得sin C.ab11，a8，b3，SABCabsin C836.选条件：cos A，cos B，且ab11.(1)A(0，)，B(0，)，cos A，cos B，sin A，sin B.在ABC中，由正弦定理，可得.又ab11，a6，b5.(2)
12、sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.SABCabsin C65.射影定理的应用设ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：abcos Cccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A.注：以“abcos Cccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.证明如图，在ABC中，ADBC，则bcos CCD，ccos BBD，故bcos Cccos BCDBDBCa，即abcos Cccos B，同理可证bccos Aacos C，cacos Bbcos A.例 在ABC中，
13、角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()A.a2b B.b2aC.A2B D.B2A答案A解析法一因为sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B，即cos C(2sin Bsin A)0，所以cos C0或2sin Bsin A，即C90或2ba，又ABC为锐角三角形，所以0C90，故2ba.法二由正弦定理和余弦
14、定理得b2ac，所以2b2a23b2c2，即(a2b2c2)a2b2c2，即(a2b2c2)0，所以a2b2c2或2ba，又ABC为锐角三角形，所以a2b2c2，故2ba.法三由正弦定理及sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C得b2bcos C2acos Cccos Aacos C(acos Cccos A)acos Cb，即2bcos Cacos C，又因为ABC为锐角三角形，所以cos C0，则2ba.1.已知ABC中，A，B，a1，则b等于()A.2 B.1 C. D.答案D解析由正弦定理b.2.(2021全国甲卷)在ABC中，已知B120，AC，AB2，
15、则BC()A.1 B. C. D.3答案D解析由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B，得BC22BC150，解得BC3或BC5(舍去).故选D.3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ab，AB，则角C()A. B. C. D.答案B解析因为在ABC中，AB，所以AB，所以sin Asincos B，因为ab，所以由正弦定理得sin Asin B，所以cos Bsin B，所以tan B，因为B(0，)，所以B，所以C.4.(2021株洲二模)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C3bcos C3ccos B，则角C的大小为()A. B
16、. C. D.答案A解析由正弦定理得2sin Acos C3sin Bcos C3sin Ccos B，即2sin Acos C3(sin Bcos Ccos Bsin C)3sin(BC)3sin A，因为sin A0，所以cos C，又因为C(0，)，所以C.5.(2022杭州一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos Bbcos A3ccos C，asin Acsin Cbsin A0，则()A. B. C. D.答案A解析在ABC中，由正弦定理及acos Bbcos A3ccos C.得sin Acos Bcos Asin B3sin Ccos C，sin(AB)
17、sin C3sin Ccos C，又sin C0，cos C；由正弦定理及asin Acsin Cbsin A0，得a2c2ab.又由余弦定理得cos C，.6.(多选)(2021武汉调研)已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是()A.若tan Atan Btan C0，则ABC是锐角三角形B.若acos Abcos B，则ABC是等腰三角形C.若bcos Cccos Bb，则ABC是等腰三角形D.若，则ABC是等边三角形答案ACD解析tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)，tan Atan Btan Ctan(AB)(1tan Ata
18、n B)tan Ctan C(1tan Atan B)tan Ctan Atan Btan C0，A，B，C均为锐角，选项A正确；由acos Abcos B及正弦定理，可得sin 2Asin 2B，AB或AB，ABC是等腰三角形或直角三角形，选项B错误；由bcos Cccos Bb及正弦定理，可知sin Bcos Csin Ccos Bsin B，sin Asin B，AB，则ABC是等腰三角形，选项C正确；由已知和正弦定理，易知tan Atan Btan C，ABC，则ABC是等边三角形，选项D正确.7.(2021重庆诊断)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2，c3，A2B
19、，则a_.答案解析A2Bsin Asin 2Bsin A2sin Bcos B，由正弦定理得a2bcos B，又由余弦定理得a2b，代入b2，c3，可得a210，故a.8.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五的“田域类”中写道：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积.则该沙田的面积为_平方里.答案84解析由题意画出ABC，且AB13里，BC14里，AC15里，在ABC中，由余弦定理得，cos B，所以sin B，则该沙田的面积SABBCsin B13148
20、4(平方里).9.(2021广州调研)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Csin(AC)2csin Asin2 ，则角B的大小为_；若ac6，ABC的面积为2，则b的值为_.答案2解析由正弦定理可得sin Asin Csin(AC)2sin Csin Asin2 ，sin Asin C0，ACB，sin B2sin2 ，即2sin cos 2sin2，又0，故tan ，即B.SABCacsin B2，ac8，而ac6，(ac)2a22acc236，a2c220，由余弦定理得b2a2c22accos B20812，解得b2.10.(2020全国卷)ABC的内角A，B，C的对
21、边分别为a，b，c.已知B150.(1)若ac，b2，求ABC的面积；(2)若sin Asin C，求C.解(1)由题设及余弦定理得283c2c22c2cos 150，解得c2(舍去)或c2，从而a2.因此ABC的面积为22sin 150.(2)在ABC中，A180BC30C，所以sin Asin Csin(30C)sin Csin(30C)，故sin(30C).而0C30，所以3030C60，所以30C45，故C15.11.(2022山东三校一联)在cos C(acos Bbcos A)csin C，asincsin A，(sin Bsin A)2sin2Csin Bsin A这三个条件中任
22、选一个，补充在下面问题中.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当_时，求sin Asin B的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解若选，由正弦定理得cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin Csin C，即cos Csin(AB)sin Csin C，sin C0，tan C，C(0，)，C.AB，sin Asin Bsin Asinsin Asin Acos Asin2Asin 2A(1cos 2A)sin，A，2A，当A时，sin Asin B取得最大值为.若选，由正弦定理得sin Asin sin Csin A，sin A0，cos
23、 sin C2sin cos ，cos 0，sin ，C(0，)，C.余下同.若选，由正弦定理得(ba)2c2ba，即a2b2c2ba，cos C，C(0，)，C.余下同.12.(2022昆明诊断)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2c2bca2，bca2，则角C的大小是()A.或 B.C. D.答案A解析由b2c2bca2，得b2c2a2bc，则cos A，因为0A，所以A，由bca2及正弦定理，得sin Bsin Csin2A，即4sin(CA)sin C，即4sin(CA)sin C4sinsin C，整理得cos 2Csin 2C，则tan 2C，又02Cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，故由余弦定理可得cos C0，故解得0aa2，可得a1，故1a3.又a为正整数，故a2.
