1、第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0且a1，b0)与对数函数
2、相关的模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)与幂函数相关的模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y
3、2x的函数值比yx2的函数值大.()(3)不存在x0，使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)9折出售的售价为100(110%)99(元).每件赔1元，(1)错误.(2)当x2时，2xx24.不正确.(3)如ax0，n，不等式成立，因此(3)错误.2.(2021全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L5lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1.259)()A.1.5 B
4、.1.2 C.0.8 D.0.6答案C解析由题意知4.95lg V，得lg V0.1，得V100.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(多选)(2021青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案BCD解析由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则
5、A错误.其余全部正确.4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为()A.3.75元/瓶 B.7.5元/瓶C.12元/瓶 D.6元/瓶答案D解析设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y(x3)80(x3)(9x)80(x6)2720(x3)，所以x6时，y取得最大值.5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数
6、是()A.y2x B.yx21C.y2x2 D.ylog2x答案D解析当x0.99时，y0.01，可排除A，当x2.01时，y0.98，可排除B、C，故选D.6.(2022北京丰台一模)大气压强p，它的单位是“帕斯卡”(Pa.1 Pa1 N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是pp0ekh(k0.000 126 m1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，.那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 20.693)()A.550 m B.1 818 mC.5 500 m D.8 732 m答案C解析ekh2kh1，故h1
7、h25 500 m.考点一利用函数图象刻画实际问题的变化过程1.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳答案D解析由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C
8、错误，故选D.2.(2022郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：0时到3时只进水不出水；3时到4时不进水只出水；4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是_(填序号).答案解析由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故正确；不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故不正确；两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故不正确.3.(2022武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4
9、年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：y2ta；yalog2t；yta；ya中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是_(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为_米.答案解析由散点图的走势，知模型不合适.曲线过点，则后三个模型的解析式分别为ylog2t；yt；y，当t1时，代入中，得y，与图不符，易知拟合最好的是.将t8代入式，得ylog28(米).感悟提升判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根
10、据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.考点二已知函数模型解决实际问题例1 (2021承德二模)我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：yy0ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y0表示t0时的人口数(单位：亿)，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香
11、港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332177.688 9，12.432154.504 9)()A.14.30亿 B.15.20亿C.14.62亿 D.15.72亿答案A解析由马尔萨斯人口增长模型，得13.3312.43e10r，即e10r，所以我国2020年年末的全国总人口数约为y13.33e10r14.30(亿).感悟提升1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等
12、求解实际问题，并进行检验.训练1 (2021益阳二模)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.150.2？1.01.21.52.0五分记录y4.04.14.24.34.75.05.15.25.3现有如下函数模型：y5lg x，y5lg，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(参考数据：100.30.5，50.220.7，100.10.8)()A.0.3 B.0.5C.0.7 D.0.8答案B解
13、析由题中数据可知，当x1时，y5，两个函数模型都符合；当x0.1时，由y5lg x，得y5lg 0.14，与表中的数据符合，而y5lg5.1，与表中的数据不符，所以选择模型y5lg x更合适，此时令y4.7，则lg x0.3，所以x100.30.5.考点三构造函数模型解决实际问题角度1构造二次函数模型例2 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.4，8 B.6，10C.4%，8% D.6%，10%答案A解析根据题意，要使附加税不少于128万元，需160R%128，整理得R21
14、2R320，解得4R8，即R4，8.角度2构造指数、对数函数模型例3 (1)(2022青岛检测)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6 B.5 C.4 D.3答案C解析设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(xN)年后，剩余量是y，则有y.依题意得.则22x100，解得x4.所以至少需要的年数是4.(2)(2022武汉检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课
15、时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍 B.10倍 C.100倍 D.1 000倍答案B解析设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)9lg63，解得x1106，d(x2)9lg54，解得x2107，所以10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.角度3构建分段函数模型例4 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(
16、x)x2x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元.当0x8时，L(x)5x3x24x3，当x8时，L(x)5x335.故L(x)(2)当0x8时，L(x)x24x3(x6)29；当x6时，L(x)取最大值为L(6)9(万元)；当x8时，L(x)3535215(万元)，.综
17、上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.感悟提升(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.解模：求解函数模型，得出数学结论.还原：将数学结论还原为实际意义的问题.(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养.训练2 (1)(多选)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科
18、学家用PAlg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数.现有以下几种说法，其中正确的是()A.PA1B.PA10C.若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10D.假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5PA5.5(注：lg 20.3)答案BD解析当nA1时，PA0，故A错误；又nAnB1010且nA，nBN*，nA1010，PAlg 101010，故B正确；若PA1，则nA10；若PA2，则nA100，故C错误；设B菌的个数为nB5104，nA2105，则PAlg(nA)5lg 2.又lg 20.3，5PA4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.(2)设
19、汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1，E2.由题意知，lg E14.81.5816.8，lg E24.81.5918.3，即E11016.8，E21018.3，所以101.510，取3.2，得32.故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.11.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4x20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克
20、/年.(1)当0x20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解(1)由题意得当0x4时，v2；当4x20时，设vaxb，显然vaxb在(4，20内是减函数，由已知得解得所以vx，故函数v(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，f(x)当0x4时，f(x)为增函数，故f(x)maxf(4)428；当4x20时，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5.所以当x10时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值
21、为12.5千克/立方米.12.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：(Rr).设.由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为()A.R B.RC.R D.R答案D解析由得rR，代入(Rr)，整理得.又33，即33，所
22、以，故rRR.13.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足NN02(N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到_年之间.(参考数据：lg 20.3，lg 70.84，lg 30.48)答案6 876解析NN02，
23、当T5 730时，NN021N0，经过5 730年后，碳14的质量变为原来的.由题意可知2，两边同时取以2为底的对数得：log22log2，1.2，T6 876，推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间.14.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P46，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解(1)当x128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以f(128)46112288(万元).因此，此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240x)万元，依题意得解之得80x160，当80x120，即120240x160时，f(x)46324260，故f(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.
