1、考点测试20平面向量基本定理及坐标表示高考概览本考点是高考常考知识点，常考题型为选择题和填空题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件一、基础小题1已知点A(1,1)，B(2,3)，向量(4，3)，则向量()A(5，5) B(6,4)C(2,4) D(2,4)答案A解析(1,2)，(5，5)故选A.2设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基底，且向量a3e14e2与b6e1ke2不能作为一组基底，则实数k的值为()A8 B8 C4 D4答案B解析由a与b
2、不能作为一组基底，得a与b必共线，故3k6(4)0，即k8.故选B.3已知向量a(1,2)，b(x，x1)，若(b2a)a，则x()A. B. C1 D3答案A解析由题意得，b2a(2x，x5)，(b2a)a，2(2x)x50，解得x.故选A.4在等腰梯形ABCD中，2，点E是线段BC的中点，若，则()A. B. C. D.答案B解析取AB的中点F，连接CF，则四边形AFCD是平行四边形，所以CFAD，且CFAD，因为()，所以，.故选B.5已知点A(1，2)，若向量与向量a(2,3)同向，且|，则点B的坐标为()A(2,3) B(2,3)C(3,1) D(3，1)答案C解析因为向量与向量a同
3、向，所以ka(k0)，设(x，y)，则由|得k1，故(2,3)，(1，2)(2,3)(3,1)故选C.6. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab答案C解析解法一：根据题意，得(ab)，(ab)E是线段OD的中点，DFAB，(ab)，(ab)(ab)ab.故选C.解法二：根据题意，得(ab)，(ab)令t，则t()tab.由，令s，则ab，又(ab)，ab，解方程组得故ab.故选C.7已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当A，B，C三点共线时，实数k的值为()A3 B11C2
4、 D2或11答案D解析因为(4k，7)，(6，k5)，且，所以(4k)(k5)6(7)0，解得k2或11.故选D.8已知向量a(sin，)，b(1，cos)，|，则|ab|的最大值为()A2 B. C3 D5答案B解析由已知可知|ab|2(sin1)2(cos)254sin.因为|，所以0，所以当时，|ab|2的最大值为505，故|ab|的最大值为.9(多选)设向量a(k,2)，b(1，1)，则下列叙述正确的是()A若k2，则a与b的夹角为钝角B|a|的最小值为2C与b共线的单位向量只有一个，为D若|a|2|b|，则k2或2答案AB解析对于A，若a与b的夹角为钝角，则ab0且a与b不共线，则解
5、得k2且k2，A正确；对于B，|a|2，当且仅当k0时，等号成立，B正确；对于C，|b|，与b共线的单位向量为，即与b共线的单位向量为和，C错误；对于D，若|a|2|b|2，则 2，解得k2，D错误故选AB.10(多选)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若xy，则xy的取值可能是()A6 B1 C5 D9答案BC解析如图建立平面直角坐标系，以与x，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底向量，令正三角形边长为3，则i，ij，则j ，由图知，当P在C点时有j23，此时x
6、y有最大值5，同理当P在D点时有j23，此时xy有最小值5，则xy的取值范围为5,5，结合选项可知，xy的取值可能是1,5.故选BC.11已知向量(2,0)，(0,2)，t，tR，则当|最小时，t_.答案解析由t知A，B，C三点共线，即动点C在直线AB上从而当OCAB时，|最小，易得且|，所以|，则t.12. 如图，直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，动点P在边BC上，且满足mn(m，n均为正实数)，则的最小值为_答案解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(1,4)，D(0，4)，所以直线BC的方程为4x3y16，mn(4m,4n)，又点P
7、在边BC上，所以16m12n16，即4m3n4，所以，当且仅当3n24m2即mn时取等号，所以的最小值为.二、高考小题13(2019全国卷)已知向量a(2,3)，b(3,2)，则|ab|()A. B2 C5 D50答案A解析ab(2,3)(3,2)(1,1)，|ab|.故选A.14(2021全国乙卷)已知向量a(2,5)，b(，4)，若ab，则_.答案解析因为ab，所以245，解得.15(2020北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足()，则|_；_.答案1解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点A(0,0)，B(2，0)，C(2,2
8、)，D(0,2)，()(2,0)(2,2)(2,1)，则点P(2,1)，(2,1)，(0，1)，|，0(2)(1)11.16(2019浙江高考)已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i1,2,3,4,5,6)取遍1时，|123456|的最小值是_，最大值是_答案02解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则(1,0)，(0,1)设a12345612345()6()(1356)(2456)(1356，2456)故|a|.i(i1,2,3,4,5,6)取遍1，当13560，24560时，|123456|取得最小值0.考虑到56，56有相关性，要确保所求模最
9、大，只需使|1356|，|2456|尽可能取到最大值，即当|1356|2，|2456|4或|1356|4，|2456|2时可取到最大值，|123456|的最大值为2.17(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.答案解析由题可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.18. (2017江苏高考)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.答案3解析解法一：tan7，0，cos，sin.与的夹角为，.mn，|1，|，.又与的夹角为45，.又cosAOBcos(45)
10、coscos45sinsin45，|cosAOB，将其代入得mn，mn1，两式相加得mn，mn3.解法二：如图，过C作CMOB，CNOA，分别交线段OA，OB的延长线于点M，N，则m，n，由正弦定理，得，|，由解法一，知sin，cos，|，|.又mn，|1，m，n，mn3.解法三：如图，过点C作CDBO交线段OA的延长线于点D，设m，n，则在ODC中有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan7，得cos，又由余弦定理，得即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，当n时，m1050)，则A(0,0)，B(0，a)，C(1，a)，D(2,0)，设P(0，b)(0ba)
11、，则(1，ab)，(2，b)，(3，a2b)，|3，当且仅当b时，等号成立，|取得最小值3.23. (2021江苏南通二模)如图，点C在半径为2的 上运动，AOB.若mn，则mn的最大值为()A1 B. C. D.答案C解析以O为原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)，(1，)设AOC，则(2cos，2sin)由题意可知所以mncossinsin.因为，所以，故当时，mn取得最大值，且最大值为.24(多选)(2021江苏金陵中学高三月考)已知向量a(1,3)，b(2,1)，c(3，5)，则()A(a2b)cB(a2b)cC|ac|D|ac|2|b|答案AD解析因为
12、a(1,3)，b(2,1)，c(3，5)，所以a2b(3,5)，所以a2bc，所以(a2b)c，故A正确，B不正确；又ac(4，2)，|ac|2，|b|，所以|ac|2|b|，故D正确，C不正确故选AD.25(多选)(2021湖北省黄冈市高三月考) 如图所示，向量的模是向量的模的t倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次(t，)变换得到向量.在直角坐标平面内，设起始向量(4,0)，向量经过n1次变换得到的向量为An1An(nN*，n1)，其中Ai，Ai1，Ai2(iN*)为逆时针排列，记Ai的坐标为(ai，bi)，则下列命题中正确的是()Ab2Bb3k1b3k0(kN*)Ca3k1a3k10(k
13、N*)D8(ak4ak3)(ak1ak)0(kN*)答案ABC解析因为(4,0)，经过一次变换后得到(1，)，点A2(3，)，所以b2，A正确；由题意知An1An(4,0)，所以an42coscoscos，bn2sinsinsin，b3k1b3ksinsin2k0，B正确；a3k1a3k1coscoscos2kcos0，C正确；8(ak4ak3)(ak1ak)8coscoscoscoscoscoscos0，D错误故选ABC.26(2021浙江省杭师大附中高三月考)QAB是边长为6的正三角形，点C满足mn，且m0，n0,2m3n4，则|的取值范围是_答案解析如图，建立平面直角坐标系， A(3,0
14、)，B(3，0)，Q(0,3)，(3，3)，(3，3)mn(3m，3m)(3n，3n)(3n3m，3m3n)|29(nm)227(mn)236m236n236mn，m0，n0,2m3n4，n，m(0,2)，|236m236n236mn28m216m64，由二次函数的性质知，|2，|.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2021江苏泗阳县实验高级中学模拟)平面内给定三个向量a(6,1)，b(2,3)，c(2,2)，试回答下列问题：(1)求a2bc；(2)是否存在实数，使得cab?(3)若(a2c)(ckb)，求实数k的值解(1)a2bc(6,1)2(2,3)(2,2)(0
15、,5)(2)假设存在实数，使得cab，则(2,2)(6,1)(2,3)，即解得即存在实数满足题意(3)a2c(10,5)，ckb(22k,23k)，因为(a2c)(ckb)，所以5(22k)10(23k)，解得k.2. (2021山东省潍坊市月考)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M.设a，b.(1)试用向量a，b表示；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设，其中，R.当EF与AD重合时，1，此时5；当EF与BC重合时，1，此时5.能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式5恒成立？请说明理由解(1)设manb(m，nR)，由A，D，M三点共线，可知存在(R，且1)，使得，则()，又，所以ab，所以即m2n1，由B，C，M三点共线，可知存在(R，且1)使得，则()，又，所以ab，所以即3mn1，由得m，n，故ab.(2)能得出结论理由：由于E，M，F三点共线，则存在实数(R，且1)使得，则r()，于是，又，所以ab，所以abab，从而所以消去，得5.
