1、第18讲锐角三角函数及其应用1锐角三角函数：如图，在RtABC中，设C90，A、B、C对应的边分别为a，b，c，则：a的正弦sinA；a的余弦cosA_；a的正切tanA.2特殊角的三角函数值 30，45，60的三角函数值，如下表： 正弦余弦正切30 451603.解直角三角形的常见类型及解法已知条件图形解法一直角边和一锐角(a，A)B90A，c，b已知斜边和一个锐角(c，A)B90A，acsinA, bccosA已知两直角边(a，b)c，由tanA求A，B90A已知斜边和一条直角边(c，a)b，由sinA求A，B90A4锐角三角函数的实际应用中的常见概念 (1)铅垂线：重力线方向的直线； (
2、2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线； (3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角；(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即itan，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡；(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的锐角叫做方向角注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏东45方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45方向我们一般画图的方位为上
3、北下南，左西右东. 考点1：直角三角形的边角关系【例题1】如图，AD是ABC的中线，tanB，cosC，AC.求：(1)BC的长；(2)sinADC的值【解析】：(1)过点A作AEBC于点E.cosC，C45.在RtACE中，CEACcosC1，AECE1.在RtABE中，tanB，即，BE3AE3.BCBECE4.(2)AD是ABC的中线，CDBC2.DECDCE1.AEBC，DEAE，ADC45.sinADC.归纳： 1解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角2在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或
4、勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解3若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解4解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具考点2：锐角三角函数的实际应用【例题2】（2019甘肃省庆阳市8分）图是放置在水平面上的台灯，图是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC40cm，灯罩CD30cm，灯臂与底座构成的CAB60CD可以绕点C上下调节一定的角度使用发现：当CD与水平线所成的角为30时，台灯光线最佳现测得点D到桌面的距离为49.6cm请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：取1.73）【分析】如
5、图，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于F解直角三角形求出DCF即可判断【解答】解：如图，作CEAB于E，DHAB于H，CFDH于FCEHCFHFHE90，四边形CEHF是矩形，CEFH，在RtACE中，AC40cm，A60，CEACsin6034.6（cm），FHCE34.6（cm）DH49.6cm，DFDHFH49.634.615（cm），在RtCDF中，sinDCF，DCF30，此时台灯光线为最佳归纳：解决锐角三角函数有关的题目，常结合视角知识通过作辅助线构造“直角三角形”，进而利用直角三角函数进行求解，常见辅助线的作法和基本图形的构造如下所示： (1)构造一个直角三角形： (2)构
6、造两个直角三角形： 不同地点测量： 同一地点测量： 一、选择题：1. （2018宜昌）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，PCA=35，则小河宽PA等于（）A100sin35米B100sin55米C100tan35米D100tan55米【答案】C【解答】解：PAPB，PC=100米，PCA=35，小河宽PA=PCtanPCA=100tan35米故选：C2. (2019湖北宜昌3分）如图，在54的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为（）ABCD【答案】D【解答】解：如
7、图，过C作CDAB于D，则ADC90，AC5sinBAC故选：D3. 如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为（）A. B. C. D. 【答案】：B【解析】：解答：过C点作CDAB，垂足为D根据旋转性质可知，B=B在RtBCD中，tanB=tanB=tanB=故选B 4. （2019广东省广州市3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是BAC，若tanBAC，则此斜坡的水平距离AC为（）A75mB50mC30mD12m【答案】：A【解答】解：BCA90，tanBAC，BC30m，tanBAC=， 解得，
8、AC75，故选：A5. 已知ABC中，C=90，tanA=，D是AC上一点，CBD=A，则sinABD=（）A. B. C. D. 【答案】：A【解析】：解答：作DEAB于点ECBD=A，tanA=tanCBD=，设CD=1，则BC=2，AC=4，AD=AC-CD=3，在直角ABC中，AB=，在直角ADE中，设DE=x，则AE=2x，AE2+DE2=AD2，x2+（2x）2=9，解得：x=，则DE=，AE=BE=AB-AE=，tanDBA=，sinDBA=故选A 二、填空题：6. （2018齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，ABC=90，tanABD=，AB=20，BC=10，AD=1
9、3，则线段CD= 【答案】：17【解答】解：作AHBD于H，CGBD于G，tanABD=，=，设AH=3x，则BH=4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202，解得，x=4，则AH=12，BH=16，在RtAHD中，HD=5，BD=BH+HD=21，ABD+CBD=90，BCH+CBD=90，ABD=CBH，=，又BC=10，BG=6，CG=8，DG=BDBG=15，CD=17，故答案为：177. （2018眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tanAOD=2【答案】：2【解答】解：如图，连接BE，四边形BCEK是正
10、方形，KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BECK，BF=CF，根据题意得：ACBK，ACOBKO，KO：CO=BK：AC=1：3，KO：KF=1：2，KO=OF=CF=BF，在RtPBF中，tanBOF=2，AOD=BOF，tanAOD=2故答案为：28. （2018无锡）已知ABC中，AB=10，AC=2，B=30，则ABC的面积等于 【答案】：15或10【解答】解：作ADBC交BC（或BC延长线）于点D，如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在RtABD中，B=30，AB=10，AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在RtACD中，AC=2，CD=，则BC=BD+CD=6，
11、SABC=BCAD=65=15；如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由知，BD=5，CD=，则BC=BDCD=4，SABC=BCAD=45=10综上，ABC的面积是15或10，故答案为15或109. （2019浙江湖州4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角BOD若AO85cm，BODO65cm问：当74时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm（参考数据：sin370.6，cos370.8，sin530.8，cos530.6）【答案】120【解答】解：过O作OEBD，过
12、A作AFBD，可得OEAF，BODO，OE平分BOD，BOEBOD7437，FABBOE37，在RtABF中，AB85+65150cm，hAFABcosFAB1500.8120cm，故答案为：120三、解答题：10. （2018湖北荆州10分）问题：已知、均为锐角，tan=，tan=，求+的度数探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出+的度数；延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长【解答】解：（1）连结AM、MH，则MHP=AD=MC，D=C，MD=HC，ADMMCHAM=MH，DAM=HMCAMD+DAM=90
13、，AMD+HMC=90，AMH=90，MHA=45，即+=45（2）由勾股定理可知MH=MHR=45，=11. （2019湖北十堰7分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD3m，坝高AEDF6m，坡角45，30，求BC的长【分析】过A点作AEBC于点E，过D作DFBC于点F，得到四边形AEFD是矩形，根据矩形的性质得到AEDF6，ADEF3，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过A点作AEBC于点E，过D作DFBC于点F，则四边形AEFD是矩形，有AEDF6，ADEF3，坡角45，30，BEAE6，CFDF6，BCBE+EF+CF6+3+69+6，BC（9+6）m，答：BC的长（9+6）m
14、12. （2019江苏宿迁10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，BCD64，BC60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E，求EE的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05）【分析】（1）作EMCD于点M，由EMECsinBCM75sin46可得答案；（2）作
15、EHCD于点H，先根据EC求得EC的长度，再根据EECECE可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EMCD于点M，由题意知BCM64、ECBC+BE60+1575cm，EMECsinBCM75sin6467.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+3299.5（cm）；（2）如图2所示，过点E作EHCD于点H，由题意知EH800.864，则EC71，1，EECECE7571.13.9（cm）13. 如图，已知，在ABC中，ABAC2，sinB，D为边BC的中点，E为边BC的延长线上一点，且CEBC.连接AE，F为线段AE的中点求：(1)线段DE的长；(2)CAE的正切值【解析】：(1)连接AD.ABAC，D为BC的中点，ADBC，即ADB90.ABAC2，sinB，.AD4.由勾股定理，得BD2，DCBD2，BC4.CEBC，CE4.DEDCCE246.(2)过点C作CMAE于点M, 则CMACME90.在RtADE中，由勾股定理，得AE2.CM2AC2AM2CE2EM2，(2)2AM242(2AM)2，解得AM.CM.tanCAE.
