1、直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1若直线过两点(1,1)，(2,1)，则此直线的倾斜角是()A30 B45 C60 D90A直线过点(1,1)，(2,1)，直线的斜率k，即直线的倾斜角满足tan ；0180，302如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2D直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k23 若A(2,3)，B(3，2)，C三点在同一条直线上，则m的值为()A2 B2 C DD因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kABkAC，所以，解得m故选D4过点P(，2)且倾斜角为1
2、35的直线方程为()A3xy40 Bxy0Cxy0 Dxy0D因为直线的倾斜角为135，所以直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为y2(x)，即xy0，故选D5已知直线l将圆C：x2y26x6y20的周长平分，且直线l不经过第三象限，则直线l的倾斜角的取值范围为()A90，135 B90，120C60，135 D90，150A由题意，直线l过圆心(3，3)，因为直线不过第三象限，则倾斜角范围为90，135，故选A6在等腰三角形AOB中，AOAB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()Ay13(x3) By13(x3)Cy33(x1) Dy33(x1)
3、D因为AOAB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kABkOA3，所以直线AB的点斜式方程为y33(x1) 二、填空题7直线ykx2k3必过定点，该定点为 (2,3)ykx2k3变形为k(x2)y3，令x20，y30得定点(2,3)8(2021云南师大附中高三月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”已知平面直角坐标系中ABC各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，则其“欧拉线”的方程为 3x4y0由题设知：ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0,0)，外心为斜边BC的中
4、点M(4,3)，“欧拉线”的方程为3x4y09若直线l过点P(3,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是 因为P(3,2)，A(2，3)，B(3,0)，则kPA5，kPB如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为三、解答题10(2021四川资阳高三期末)解答下面两个小题：(1)直线l经过点A(2，1)，倾斜角为直线yx的倾斜角的2倍，求l的方程；(2)直线l经过点B(2,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求l的方程解(1)设直线yx的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2因为tan ，所以tan 2又直线经过点A(2，1)，所以，
5、所求直线方程为y1(x2)，即4x3y50(2)由题可知，所求直线的斜率为1又过点B(2,4)，由点斜式得y4x2或y4(x2)故所求直线的方程为xy60或xy2011过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)552 9，当且仅当
6、a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y601直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A BC DB由题意知，直线的斜率k2cos ，又，所以cos ，即1k，设直线的倾斜角为，则1tan ，故2已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为 4x3y40由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y403(1)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，
7、求点P的横坐标的取值范围(2)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，求|PA|PB|的最大值解(1)由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021所以1x0(2)由动直线xmy0求得定点A(0,0)，动直线mxym30，即y3m(x1)，所以得定点B(1,3)当m0时，两条动直线垂直，当m0时，因为m1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，所以|PA|PB|的最大值是5
