1、平面向量的数量积与平面向量应用举例一、选择题1(2021辽宁朝阳市高三一模)已知向量a(x,1)，b(1,1)，若ab(0,2)，则()Aab BabCab(2,0) DB向量a(x,1)，b(1,1)，且ab(x1,2)(0,2)，x10，x1，向量a(1,1)，b(1,1)，a和b不平行，故A错误；ab0，ab，故B正确；ab(2,0)，故C错误；2，故D错误2已知向量a，b满足a(4,0)，b(x，)，且|a|ab，则a，b的夹角大小为()A B C DC由题意，向量a，b满足a(4,0)，b(x，)，因为|a|ab，可得4x4，解得x1，设a，b的夹角大小为，所以cos ，因为0，所以
2、3(2021湖北武汉高三模拟)如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E为边DC的中点，F为BE的中点，则()A3 B2 C DB以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1,1)，F，(1,1)，24(2021黑龙江哈尔滨三中高三模拟)在直角梯形ABCD中，ADAB，CDAB，AB2AD2DC2，E为BC边上中点，的值为()A1 B C D2D因为ADAB，CDAB，所以ADCD，因为ADCD，所以DACBAC45，AC，因为E为BC边上中点，所以，则2|2cosBAC()222，故选D5若O为ABC所在平面内任意一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三
3、角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形A()(2)0，()()()0设D为边BC的中点，则2，即0由此可得在ABC中，BC与BC边上的中线垂直，ABC为等腰三角形故选A6若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A B C DA法一：由|ab|ab|知，ab0，所以ab将|ab|2|b|两边平方，得|a|22ab|b|24|b|2，所以|a|23|b|2，所以|a|b|，所以cosab，a，所以向量ab与a的夹角为，故选A法二：|ab|ab|，ab在四边形ABCO中，设|b|1，|ab|2|b|2，|a|，ab，aBOA，在RtOBA中，BOA二、填空
4、题7(2021全国乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则 法一：ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即(13，34)(3,4)0，3912160，解得法二：由(ab)b可知，(ab)b0，即abb20，从而8(2021北京高考)已知a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，则(ab)c ；ab 03a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，ab(4,0)，(ab)c40010，ab221(1)39如图，已知等腰ABC中，ABAC3，BC4，点P是边BC上的动点，则() 10取BC的中点D，易知2，且ADBC()222又ABAC3，BC4，AD故()2210三、解答
5、题10已知向量a(1，1)，b(sin ，cos )，0(1)若向量ab，求的值；(2)若向量ab，求解(1)a(1，1)，b(sin ，cos )，当ab时，1cos (1)sin ，即cos sin (0，)， (2)a(1，1)，b(sin ，cos )，当ab时，1sin (1)cos ，可得sin cos (sin cos )212sin cos ，sin cos sin (sin cos )sin cos 11已知向量m(cos x，sin x)，n(sin x，sin x)，函数f(x)mn(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，f，求sin 的值解向量m(cos x，sin
6、 x)，n(sin x，sin x)，函数f(x)mnsin xcos xsin2xsin(1)T(2)fsinsin，cossin sinsincos cossin 1已知向量(1,2)，(4，2)，则ABC的面积为()A5 B10 C25 D50A|，|2，cosA0，A90ABC的面积为|sinA5，故选A2如图所示，把一个物体放在倾斜角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2已知|F1|80 N，则G的大小为 ，F2的大小为 160 N80 N根据题意，F1F2G，如图所示：CAO90，AOC30 ，AC80，OC
7、160，OA80，G的大小为160 N，F2的大小为80 N3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)若kab与akb的模相等，求的值(其中k为非零实数)解(1)a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|a|1，同理|b|1(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，因此，向量ab与ab垂直(2)abcos cos sin sin cos()，|kab|akb|，|kab|2|akb|2，则k2a22kabb2a22kabk2b2，即k22kab112kabk2，整理得abcos()0，0，则0，0，所以，0，1(2021
8、天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点EDFAB且交AC于点F，则|2|的值为 ；()的最小值为 1 设BEx，x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，BDE30，BD2x，DEx，DC12x，DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，(2)242424x24x(12x)cos 0(12x)21，|2|1，()()()2(x)2(12x)(1x)5x23x152，所以当x时，()的最小值为2已知O为ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H(1)若a，b，c，h，试用a，b，c表示h；(2)证明：；(3)若ABC的A60，B45，外接圆的半径为R，用R表示|h| 解(1) 由平行四边形法则可得：，即habc(2)O是ABC的外心，|，即|a|b|c|，而habc，cb，(bc)(cb)|c|2|b|20，(3)在ABC中，O为ABC的外心，A60，B45，BOC120，AOC90，于是AOB150，|h|2|abc|2a2b2c22ab2bc2ca3R22|a|b|cos 1502|b|c|cos 1202|c|a|cos 90(2)R2，|h|
