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广东省11大市2013届高三数学(理)一模试题分类汇编11:立体几何.doc

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1、高考资源网() 您身边的高考专家广东省11大市2013届高三数学(理)一模试题分类汇编 立体几何一、填空、选择题1、(广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题(一)某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A B C. D. 答案:A2、(江门市2013届高三2月高考模拟)右图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为A72 B36 C24 D12答案:D3、(揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟)一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: )则该组合体的体积为A. 72000 B. 64000 C. 56000 D. 44000 答案:由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,

2、故其体积,故选B.4、(梅州市2013届高三3月总复习质检)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3,则aA、B、C、D、答案:C5、(汕头市2013届高三3月教学质量测评)设O是空间一点,a,b,c是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是()A. 当abO且a,b时,若ca,cb,则cB. 当abO且a,b时,若a,b,则C. 当b时,若b,则D. 当b时,且c时,若c,则bc答案:C6、(韶关市2013届高三调研考试)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为()A、44B、44C、D、12答案:B7、(深圳市2013届高三2月第一次调研考

3、试)图1 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积分别是A B C D答案:C【解析】该几何体为平放的半球,所以8、(肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试)已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图2所示,则其侧视图的面积为A BC D 答案:A9、(佛山市2013届高三教学质量检测(一)一个直棱柱被一个平面截22131正视图侧视图俯视图第4题图去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A9 B10C11 D答案:C10、(茂名市2013届高三第一次高考模拟考试)若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形,且其体积为,则该几何体的俯视

4、图可以是( )答案:C11、(湛江市2013届高三高考测试(一)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为3,则正视图中的x答案:3二、解答题1、(广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题(一)如图4,在三棱柱中,是边长为的等边三角形,平面,分别是,的中点. (1)求证:平面;(2)若为上的动点,当与平面所成最大角的正切值为时,求平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值.解法一:(1)证明:延长交的延长线于点,连接. ,且, 为的中点. 2分 为的中点,. 3分平面,平面,平面. 4分(2)解:平面,平面, . 5分 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面,平面. 6分为与平面所

5、成的角. 7分,在Rt中,当最短时,的值最大,则最大.8分当时,最大. 此时,. 9分,平面,平面. 10分平面,平面,. 11分为平面 与平面所成二面角(锐角). 12分在Rt中,.13分平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为.14分解法二:(1)证明:取的中点,连接、.为的中点,且. 1分,且,. 2分四边形是平行四边形. 3分平面,平面,平面. 4分(2)解:平面,平面, . 5分 是边长为的等边三角形,是的中点, ,. 平面,平面,平面. 6分为与平面所成的角. 7分,在Rt中,当最短时,的值最大,则最大. 8分当时,最大. 此时,. 9分在Rt中,.RtRt,即. 10分以为原点,

6、与垂直的直线为轴,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.则,.,.设平面的法向量为,由,得 令,则.平面的一个法向量为. 12分平面, 是平面的一个法向量. 13分平面 与平面所成二面角(锐角)的余弦值为. 14分2、(江门市2013届高三2月高考模拟)如图,直角梯形中,过作,垂足为。、分别是、的中点。现将沿折起,使二面角的平面角为求证:平面平面;求直线与面所成角的正弦值证明:DEAE,CEAE, AE平面, 3分 AE平面,平面平面 5分(方法一)以E为原点,EA、EC分别为轴,建立空间直角坐标系 6分DEAE,CEAE,是二面角的平面角,即=,7分,A(2,0,0),B(2,

7、1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,,1)。 9分、分别是、的中点,F,G 10分=,=, 11分由知是平面的法向量, 12分设直线与面所成角,则,故求直线与面所成角的正弦值为 14分(列式1分,计算1分)(方法二)作,与相交于,连接6分由知AE平面,所以平面,是直线与平面所成角7分是的中点,是的中位线,8分因为DEAE,CEAE,所以是二面角的平面角,即=,9分在中,由余弦定理得,(或)11分(列式1分,计算1分)平面,所以,在中, 13分(列式1分,计算1分)所以直线与面所成角的正弦值为14分3、(揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟)如图(4),在等腰梯形CDEF中,

8、CB、DA是梯形的高,,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图(5)示,已知分别为的中点(1)求证:平面; (2)求证: ;(3)当多长时,平面与 平面所成的锐二面角为? 图(4) 图(5)(1)证明:连,四边形是矩形,为中点,为中点,-1分在中,为中点,故-3分平面,平面,平面;-4分(其它证法,请参照给分)(2)依题意知 且平面平面,-5分为中点,结合,知四边形是平行四边形,-7分而, ,即-8分又 平面,平面, .-9分(3)解法一:如图,分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系设,则易知平面的一个法向量为,-10分设平面的一个法向量为,则故,即令,则,故-11分,依题意,-1

9、3分即时,平面与平面所成的锐二面角为-14分【解法二:过点A作交DE于M点,连结PM,则为二面角A-DE-F的平面角,-11分由=600,AP=BF=2得AM,-12分又得,解得,即时,平面与平面所成的锐二面角为-14分】4、(梅州市2013届高三3月总复习质检)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,PAAD1,AB2,E,F分别是AB、PD的中点。(1)求证:AF平面PEC;(2)求二面角PECD的余弦值;(3)求点B到平面PEC的距离。5、(汕头市2013届高三3月教学质量测评)三棱锥P-ABC中侧梭长均为4.底边AC4. AB2,BC2,D. E分别为PC.

10、BC的中点 I)求证:平面PAC平面ABC.(II)求三棱锥PABC的体积;(III)求二面角C-AD-E的余弦值证明:()因为,取的中点,连接,易得:,(1分),.(2分).(3分)又 平面,又(5分)注意:该步骤要求学生的表达严谨规范,对于几个垂直的证明,如果没有过程,相应步骤得分为0分,而利用结论的后续证明只要正确,可以相应步骤得分)()(7分)(注意:该步骤只要计算出错,就0分)()方法一:过点E 作于H,过点H作于M,连接,因为平面平面,平面平面=,平面,所以平面,(三垂线定理)(注意:也可以证明线面垂直)即为所求的二面角的平面角(10分)分别为中点, 在中: , (11分) 在中,

11、(12分)所以,中,所以(14分)zxyMHOMH 方法二:以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, , ,(9分)所以,可以设平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,(10分),所以令,则,所以,可以设所求的二面角为,显然为锐角(11分)由可得:(12分)(14分)6、(韶关市2013届高三调研考试)如图,三棱锥P-ABC中,PB底面ABC于B,BCA90,PBCA2,点E是PC的中点。(1)求证:侧面PAC平面PBC;(2)若异面直线AE与PB所成的角为,且,求二面角CABE的大小。(1)证明:PB平面ABC,PBAC;BCA90,ACBC;又ACBC,ACPB,在面PBC中PBBC=B

12、;AC平面PBC;又AC平面PAC,面PAC面PBC(2)以C为原点,CA、CB所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系,设BCm,则C(0,0,0),A(2,0,0),E(0,,1),B(0,m,0),P(0, m,2)由,得:,由,解得:m平面ABC的一个法向量m(0,0,1),求得平面ABE的一个法向量n(1,,1)由mn=|m|n|cos,得:,所以,二面角CABE的大小为307、(深圳市2013届高三2月第一次调研考试)如图,的直径,点、为上两点,且,为的中点沿直径折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图)(1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值;(3)在上是否存在点,使得/平面?若存在

13、,试指出点的位置,并求直线与平面所成角的正弦值;若不存在,请说明理由图5图6【解析】(法一):证明:(1)如右图,连接, , 又为的中点,平面,平面,平面3分解:(2)过作于,连,平面平面 平面又平面, , 平面,则是二面角的平面角 5分, 由平面,平面,得为直角三角形,= 8分(3)设在上存在点,使得/平面,平面, 平面平面, 因此,在上存在点,使得/平面,且点为的中点10分连,设与平面所成角为,点到平面的距离为 =,=, 由=,得=,得 12分 在中,由余弦定理得=,13分= 14分(法二):证明:(1)如图,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以为原点,作空间直角坐标系,则, ,点为的中

14、点,点的坐标为,即平面,平面,平面 3分解:(2),点的坐标,设二面角的大小为,为平面的一个法向量 由 有 即 取,解得,= 5分 取平面的一个法向量=, 6分8分(3)设在上存在点,使得/平面,平面, 平面平面,则有设,又,解得(舍去),则为的中点因此,在上存在点,使得/平面,且点为的中点11分设直线与平面所成角为,根据(2)的计算为平面的一个法向量, 因此,直线与平面所成角的正弦值为 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力8、(肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试)如

15、图5,PA垂直O所在平面ABC,AB为O的直径,PA=AB,C是弧AB的中点.(1)证明:BC平面PAC;(2)证明:CFBP;(3)求二面角FOCB的平面角的正弦值.(1)证明:PA平面ABC,BC平面ABC,BCPA. (1分)ACB是直径所对的圆周角,即BCAC. (2分)又,平面. (3分)(2)证明:PA平面ABC,OC平面ABC,OCPA. (4分)C是弧AB的中点, DABC是等腰三角形,AC=BC,又O是AB的中点,OCAB. (5分)又,平面,又平面,. (6分)设BP的中点为E,连结AE,则,. (7分),平面. 又平面,. (8分)(3)解:由(2)知平面, (9分)是二

16、面角的平面角. (10分)又, (12分),即二面角的平面角的正弦值为. (13分)9、(佛山市2013届高三教学质量检测(一)如图所示,已知为圆的直径,点为线段上一点,且,点为圆上一点,且PABDCO第18题图点在圆所在平面上的正投影为点,(1)求证:;(2)求二面角的余弦值PABDCO解析:()法1:连接,由知,点为的中点,又为圆的直径,由知,为等边三角形,从而-3分点在圆所在平面上的正投影为点,平面,又平面,-5分由得,平面,又平面, -6分(注:证明平面时,也可以由平面平面得到,酌情给分)法2:为圆的直径,在中设,由,得,则,即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点,平面,又平面, -5

17、分由得,平面,又平面, -6分法3:为圆的直径,在中由得,设,由得,由余弦定理得,即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点,平面,又平面, -5分由得,平面,又平面, -6分PABDCOE()法1:(综合法)过点作,垂足为,连接 -7分由(1)知平面,又平面,又,平面,又平面,-9分为二面角的平面角 -10分由()可知,(注:在第()问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分),则,在中,即二面角的余弦值为 -14分法2:(坐标法)以为原点,、和的方向分别为轴、轴和轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系 -8分(注:如果第()问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明,酌情给分)设,由,得,

18、由平面,知平面的一个法向量为 -10分PABDCOyzx设平面的一个法向量为,则,即,令,则,-12分设二面角的平面角的大小为,则,-13分二面角的余弦值为-14分 10、(茂名市2013届高三第一次高考模拟考试)如图,为矩形,为梯形,平面平面, ,.(1)若为中点,求证:平面;(2)求平面与所成锐二面角的大小(1)证明:连结,交与,连结,中,分别为两腰的中点 2分 因为面,又面,所以平面 4分(2)解法一:设平面与所成锐二面角的大小为,以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则 6分 设平面的单位法向量为,则可设 7分设面的法向量,应有 即:解得:,所以 12分 13分

19、所以平面与所成锐二面角为6014分解法二:延长CB、DA相交于G,连接PG,过点D作DHPG ,垂足为H,连结HC 6分矩形PDCE中PDDC,而ADDC,PDAD=DCD平面PAD CDPG,又CDDH=DPG平面CDH,从而PGHC 8分DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 10分在中, 可以计算 12分在中, 13分所以平面与所成锐二面角为6014分 11、(湛江市2013届高三高考测试(一)如图,矩形ABCD中,AB2BC4,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE。(1)当平面A1DE平面BCD时,求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值;(2)设M为线段A1

20、C的中点,求证:在ADE翻转过程中,BM的长度为定值。解:(1)过A1作A1FDE,由已知可得A1F平面BCD,且F为DE中点,以D为原点,DC、DA所在直线为y,x轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,4,0),E(2,2,0),A1(1,1,)求得平面CEA1的一个法向量为m(1,1,)(0,4,0),mmcos,得cos所以,直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为。(2)取A1D中点G,连结MG,EG,由MGEB,且MGEB,可得BMGE为平行四边形,所以,BMEG,而三角形ADE中,EG的长度为定值,所以,BM的长度为定值。高考资源网w。w-w*k&s%5¥u高考资源网w。w-w*k&s%5¥u 版权所有高考资源网

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