1、高考资源网（） 您身边的高考专家广东省11大市2013届高三数学（理）一模试题分类汇编 立体几何一、填空、选择题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A B C. D. 答案：A2、（江门市2013届高三2月高考模拟）右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为A72 B36 C24 D12答案：D3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: ）则该组合体的体积为A. 72000 B. 64000 C. 56000 D. 44000 答案：由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，
2、故其体积，故选B.4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则aA、B、C、D、答案：C5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）设O是空间一点，a,b,c是空间三条直线，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A. 当abO且a，b时，若ca，cb，则cB. 当abO且a，b时，若a，b，则C. 当b时，若b，则D. 当b时，且c时，若c，则bc答案：C6、（韶关市2013届高三调研考试）某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（）A、44B、44C、D、12答案：B7、（深圳市2013届高三2月第一次调研考
3、试）图1 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是A B C D答案：C【解析】该几何体为平放的半球，所以8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为A BC D 答案：A9、（佛山市2013届高三教学质量检测（一）一个直棱柱被一个平面截22131正视图侧视图俯视图第4题图去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A9 B10C11 D答案：C10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为，则该几何体的俯视
4、图可以是( )答案：C11、（湛江市2013届高三高考测试（一）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x答案：3二、解答题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）如图4，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面，分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.解法一：（1）证明：延长交的延长线于点，连接. ，且， 为的中点. 2分 为的中点，. 3分平面，平面，平面. 4分（2）解：平面，平面， . 5分 是边长为的等边三角形，是的中点， ，. 平面，平面，平面. 6分为与平面所
5、成的角. 7分，在Rt中，当最短时，的值最大，则最大.8分当时，最大. 此时，. 9分，平面，平面. 10分平面，平面，. 11分为平面 与平面所成二面角（锐角）. 12分在Rt中，.13分平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.14分解法二：（1）证明：取的中点，连接、.为的中点，且. 1分，且，. 2分四边形是平行四边形. 3分平面，平面，平面. 4分（2）解：平面，平面， . 5分 是边长为的等边三角形，是的中点， ，. 平面，平面，平面. 6分为与平面所成的角. 7分，在Rt中，当最短时，的值最大，则最大. 8分当时，最大. 此时，. 9分在Rt中，.RtRt，即. 10分以为原点，
6、与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，.，.设平面的法向量为，由，得 令，则.平面的一个法向量为. 12分平面， 是平面的一个法向量. 13分平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为. 14分2、（江门市2013届高三2月高考模拟）如图，直角梯形中，过作，垂足为。、分别是、的中点。现将沿折起，使二面角的平面角为求证：平面平面；求直线与面所成角的正弦值证明：DEAE，CEAE， AE平面， 3分 AE平面，平面平面 5分（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系 6分DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，7分，A（2，0，0），B（2,
7、1,0），C（0,1,0），E（0,0,0），D（0，,1）。 9分、分别是、的中点，F，G 10分=,=， 11分由知是平面的法向量， 12分设直线与面所成角，则，故求直线与面所成角的正弦值为 14分（列式1分，计算1分）（方法二）作，与相交于，连接6分由知AE平面，所以平面，是直线与平面所成角7分是的中点，是的中位线，8分因为DEAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即=，9分在中，由余弦定理得，（或）11分（列式1分，计算1分）平面，所以，在中， 13分（列式1分，计算1分）所以直线与面所成角的正弦值为14分3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）如图（4），在等腰梯形CDEF中，
8、CB、DA是梯形的高，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图（5）示，已知分别为的中点（1）求证：平面； （2）求证： ；（3）当多长时，平面与 平面所成的锐二面角为？ 图（4） 图（5）（1）证明：连，四边形是矩形，为中点，为中点，-1分在中，为中点，故-3分平面，平面，平面；-4分（其它证法，请参照给分）（2）依题意知 且平面平面，-5分为中点，结合，知四边形是平行四边形，-7分而， ，即-8分又 平面，平面， .-9分（3）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系设，则易知平面的一个法向量为，-10分设平面的一个法向量为，则故，即令，则，故-11分，依题意，-1
9、3分即时，平面与平面所成的锐二面角为-14分【解法二：过点A作交DE于M点，连结PM，则为二面角A-DE-F的平面角，-11分由=600，AP=BF=2得AM，-12分又得，解得，即时，平面与平面所成的锐二面角为-14分】4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1，AB2，E，F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF平面PEC；（2）求二面角PECD的余弦值；（3）求点B到平面PEC的距离。5、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）三棱锥P-ABC中侧梭长均为4.底边AC4. AB2，BC2，D. E分别为PC.
10、BC的中点 I）求证：平面PAC平面ABC.（II）求三棱锥PABC的体积；（III）求二面角C-AD-E的余弦值证明：（）因为，取的中点，连接，易得：，（1分）,.（2分）.（3分）又 平面，又（5分）注意：该步骤要求学生的表达严谨规范，对于几个垂直的证明，如果没有过程，相应步骤得分为0分，而利用结论的后续证明只要正确，可以相应步骤得分）（）（7分）（注意：该步骤只要计算出错，就0分）（）方法一：过点E 作于H，过点H作于M，连接，因为平面平面，平面平面=，平面，所以平面，(三垂线定理)（注意：也可以证明线面垂直）即为所求的二面角的平面角（10分）分别为中点， 在中： ， （11分） 在中，
11、（12分）所以，中，所以（14分）zxyMHOMH 方法二：以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系, , ,（9分）所以，可以设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，（10分），所以令，则，所以，可以设所求的二面角为，显然为锐角（11分）由可得：（12分）（14分）6、（韶关市2013届高三调研考试）如图，三棱锥P-ABC中，PB底面ABC于B，BCA90，PBCA2，点E是PC的中点。（1）求证：侧面PAC平面PBC；（2）若异面直线AE与PB所成的角为，且，求二面角CABE的大小。（1）证明：PB平面ABC，PBAC；BCA90，ACBC；又ACBC，ACPB，在面PBC中PBBC=B
12、；AC平面PBC；又AC平面PAC，面PAC面PBC（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BCm,则C（0,0，0），A（2，0，0），E（0，,1），B（0，m,0），P（0， m,2）由，得：，由，解得：m平面ABC的一个法向量m（0，0，1），求得平面ABE的一个法向量n（1，,1）由mn=|m|n|cos，得：，所以，二面角CABE的大小为307、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）如图，的直径，点、为上两点，且，为的中点沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图）（1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值；（3）在上是否存在点，使得/平面？若存在
13、，试指出点的位置，并求直线与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由图5图6【解析】（法一）：证明：（1）如右图，连接， ， 又为的中点，平面，平面，平面3分解：（2）过作于，连，平面平面 平面又平面， ， 平面，则是二面角的平面角 5分， 由平面，平面，得为直角三角形，= 8分（3）设在上存在点，使得/平面，平面， 平面平面， 因此，在上存在点，使得/平面，且点为的中点10分连，设与平面所成角为，点到平面的距离为 =，=， 由=，得=，得 12分 在中，由余弦定理得=，13分= 14分（法二）：证明：（1）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，作空间直角坐标系，则， ，点为的中
14、点，点的坐标为，即平面，平面，平面 3分解：（2），点的坐标，设二面角的大小为，为平面的一个法向量 由 有 即 取，解得，= 5分 取平面的一个法向量=， 6分8分（3）设在上存在点，使得/平面，平面， 平面平面，则有设，又，解得（舍去），则为的中点因此，在上存在点，使得/平面，且点为的中点11分设直线与平面所成角为，根据（2）的计算为平面的一个法向量， 因此，直线与平面所成角的正弦值为 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，线面角、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力8、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）如
15、图5，PA垂直O所在平面ABC，AB为O的直径，PA=AB，C是弧AB的中点.（1）证明：BC平面PAC；（2）证明：CFBP；（3）求二面角FOCB的平面角的正弦值.（1）证明：PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA. （1分）ACB是直径所对的圆周角，即BCAC. （2分）又，平面. （3分）（2）证明：PA平面ABC，OC平面ABC，OCPA. （4分）C是弧AB的中点， DABC是等腰三角形，AC=BC，又O是AB的中点，OCAB. （5分）又，平面，又平面，. （6分）设BP的中点为E，连结AE，则，. （7分），平面. 又平面，. （8分）（3）解：由（2）知平面， （9分）是二
16、面角的平面角. （10分）又， （12分），即二面角的平面角的正弦值为. （13分）9、（佛山市2013届高三教学质量检测（一）如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且PABDCO第18题图点在圆所在平面上的正投影为点，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值PABDCO解析：（）法1：连接，由知，点为的中点，又为圆的直径，由知，为等边三角形，从而-3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面，-5分由得，平面，又平面， -6分（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分）法2：为圆的直径，在中设，由，得，则，即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， -5
17、分由得，平面，又平面， -6分法3：为圆的直径，在中由得，设，由得，由余弦定理得，即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， -5分由得，平面，又平面， -6分PABDCOE（）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接 -7分由（1）知平面，又平面，又，平面，又平面，-9分为二面角的平面角 -10分由（）可知，（注：在第（）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分），则，在中，即二面角的余弦值为 -14分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系 -8分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分）设，由，得，
18、由平面，知平面的一个法向量为 -10分PABDCOyzx设平面的一个法向量为，则，即，令，则，-12分设二面角的平面角的大小为，则，-13分二面角的余弦值为-14分 10、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）如图，为矩形，为梯形，平面平面， ，.（1）若为中点，求证：平面；（2）求平面与所成锐二面角的大小（1）证明：连结,交与,连结，中，分别为两腰的中点 2分 因为面,又面，所以平面 4分（2）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 6分 设平面的单位法向量为，则可设 7分设面的法向量，应有 即：解得：，所以 12分 13分
19、所以平面与所成锐二面角为6014分解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DHPG ，垂足为H，连结HC 6分矩形PDCE中PDDC，而ADDC，PDAD=DCD平面PAD CDPG，又CDDH=DPG平面CDH，从而PGHC 8分DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 10分在中， 可以计算 12分在中， 13分所以平面与所成锐二面角为6014分 11、（湛江市2013届高三高考测试（一）如图，矩形ABCD中，AB2BC4，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE。（1）当平面A1DE平面BCD时，求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值；（2）设M为线段A1
20、C的中点，求证：在ADE翻转过程中，BM的长度为定值。解：（1）过A1作A1FDE，由已知可得A1F平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为y，x轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，4，0），E（2，2，0），A1（1，1，）求得平面CEA1的一个法向量为m（1，1，）（0，4，0），mmcos，得cos所以，直线CD与平面CEA1所成角的正弦值为。（2）取A1D中点G，连结MG，EG，由MGEB，且MGEB，可得BMGE为平行四边形，所以，BMEG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，所以，BM的长度为定值。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u 版权所有高考资源网