1、单元质检卷六平面向量、复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京,2)在复平面内,复数z满足(1-i)z=2,则z=()A.2+iB.2-iC.1-iD.1+i2.已知向量a=(1,2),b=(2,x),且ab=-1,则x的值等于()A.B.-C.D.-3.已知i是虚数单位,若复数z=,则z的共轭复数=()A.iB.iC.-iD.-i4.(2021山东临沂一模)如图,若向量对应的复数为z,且|z|=,则=()A.iB.-iC.iD.-i5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=
2、1,E为边DC的中点,F为BE的中点,则=()A.3B.2C.D.6.(2021福建厦门模拟)向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)(a-b),则x=()A.-2B.C.2D.27.已知向量a=(1,),|b|=2,|a-b|=,则a与b的夹角为()A.B.C.D.8.在ABC中,则sin Asin Bsin C=()A.534B.543C.2D.29.若mR,则复数在复平面内所对应的点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.已知平面向量a=(2,2),b=(1,m),且|2a-b|=|a+b|,则()A.ab=4B.ab=0C.m=-1D.|b|=211.
3、设z为复数,则下列选项错误的是()A.|z|2=zB.z2=|z|2C.若|z|=1,则|z+i|的最大值为2D.若|z-1|=1,则0|z|212.已知P为ABC所在平面内一点,则下列选项错误的是()A.若+3+2=0,则点P在ABC的中位线上B.若=0,则P为ABC的重心C.若0,则ABC为锐角三角形D.若,则ABC与ABP的面积比为32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a=(m,1),b=(4,m),向量a在b上的投影向量的模为,则m=.14.(2021山东省实验中学二模)设向量a=(1,m),b=(2,1),且b(2a+b)=7,则m=.15.(2021湖北
4、七市联考)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,设AC与BD交于点O,则=.16.(2021天津,15)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DEAB且交AB于点E.DFAB且交AC于点F,则|2|的值为,()的最小值为.三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z=bi(bR),是纯虚数,i是虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(m+z)2在复平面内对应的点在第二象限,求实数m的取值范围.18.(12分)(2021江苏海门第一中学高三期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,3),B(2,-2),C(4,1).(
5、1)若=3,求点D的坐标;(2)设实数k满足(k+2)=4,求实数k的值.19.(12分)已知a=(cos x,sin x),b=(1,0),c=(4,4).(1)若a(c-b),求tan x;(2)求|a+b|的最大值,并求出对应的x的值.20.(12分)如图,在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且.设=a,=b.(1)试用基a,b表示;(2)若G为长方形ABCD内部一点,且a+b,求证:E,G,F三点共线.21.(12分)已知O为坐标原点,=(2cos x,),=(sin x+cos x,-1),若f(x)=+2.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;(2)当x0,时,
6、若函数g(x)=f(x)+m有零点,求实数m的取值范围.22.(12分)已知e1,e2是平面内的两个不共线向量,=2e1+e2,=-e1+e2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求的坐标;(3)已知D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标.单元质检卷六平面向量、复数1.D解析:由题意可得z=1+i.故选D.2.D解析:因为a=(1,2),b=(2,x),所以ab=12+2x=-1,解得x=-.故选D.3.A解析:复数z=i,则i,故选A.4.D解析:根据图形可设z=-1+b
7、i,b0,因为|z|=,所以,解得b=2,所以z=-1+2i,则=-1-2i,所以=-i.故选D.5.B解析:以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),E(1,1),F,=,=(1,1),=2.故选B.6.C解析:(方法1)a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=2.(方法2)因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,即|a|=|b|,所以x=2.故选C.7.D解析:因为|a-b|=,所以(a-b)2=13,即a2-2ab+b2=13.设a
8、与b的夹角为,则3-22cos+4=13,解得cos=-,所以a与b的夹角为.故选D.8.D解析:由题意,在ABC中,设ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,利用向量的数量积的定义可知=bccos(-A),即,即,即2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2,设2a2+2c2-2b2=3a2+3b2-3c2=6b2+6c2-6a2=12k,k0,解得a2=5k,b2=3k,c2=4k,所以a=,b=,c=,所以由正弦定理可得abc=sinAsinBsinC=2.故选D.9.D解析:=i,当m1时,对应的点在第一象限;第-1m1时,对应的点在第二象限;当m0,
9、夹角为锐角,即A为锐角,但此时B,C有可能是直角或钝角,故无法说明ABC为锐角三角形,故C错误;对于D,)+)=0,+2=0,P为线段BC上靠近C的三等分点,即,SABCSABP=BCBP=32,故D正确.故选C.13.2或-2解析:由题意可知,向量a在b上的投影数量为=,两边平方,可得=5,解得m=-2或m=2.14.-1解析:向量a=(1,m),b=(2,1),2a+b=(4,2m+1).b(2a+b)=7,8+2m+1=7,解得m=-1.15.-解析:)()=)=(12-22)=-.16.1解析:设BE=x,x0,ABC为边长为1的等边三角形,DEAB,BDE=30,BD=2x,DE=x
10、,DC=1-2x.DFAB,DFC为边长为1-2x的等边三角形,DEDF,(2)2=4+4=4x2+4x(1-2x)cos0+(1-2x)2=1,|2|=1.()=()()=(x)2+(1-2x)(1-x)=5x2-3x+1=5x-2+,当x=时,()取最小值为.17.解(1)z=bi(bR),i.又是纯虚数,=0,b=2,即z=2i.(2)z=2i,mR,(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi.又复数在复平面内对应的点在第二象限,解得0m2,故实数m的取值范围为(0,2).18.解(1)因为A(1,3),B(2,-2),C(4,1),所以=(1,-5).设D
11、(x,y),则=(x-4,y-1).因为=3,所以(1,-5)=(3x-12,3y-3),所以解得所以点D的坐标为,-.(2)=(4,1),k+2=(k+8,-5k+2).因为(k+2)=4,所以4(k+8)+(-5k+2)=4,解得k=30.19.解(1)c-b=(3,4),由a(c-b)得4cosx-3sinx=0,tanx=.(2)a+b=(cosx+1,sinx),(a+b)2=(cosx+1)2+sin2x=2+2cosx,|a+b|=,当cosx=1,即x=2k,kZ时,|a+b|取得最大值为2.20.(1)解=b+a,a-b.(2)证明a+b,a-b,a-b=2,共线.又有一公共
12、点E,E,G,F三点共线.21.解(1)=(2cosx,),=(sinx+cosx,-1),f(x)=+2=2cosxsinx+2cos2x-+2=sin2x+cos2x+2=2sin2x+2,令2x+k,kZ,得x=,kZ,故f(x)图象的对称轴方程为x=,kZ.(2)x0,g(x)=f(x)+m有零点,-m=f(x)在0,上有解.x0,2x+,-sin2x+1,f(x)(-+2,4,实数m的取值范围为-4,-2).22.解(1)=(2e1+e2)+(-e1+e2)=e1+(1+)e2.因为A,E,C三点共线,所以存在实数k,使得=k,即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-)e2.因为e1,e2是平面内的两个不共线向量,所以解得(2)=-e1-e2-2e1+e2=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).(3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,所以.设A(x,y),则=(3-x,5-y).因为=(-7,-2),所以解得即点A的坐标为(10,7).
