1、考点测试14变化率与导数、导数的计算一、基础小题1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cosx)2xsinx答案B解析1;(3x)3xln 3;(x2cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx,所以A、C、D错故选B.2已知函数f(x)xsinxcosx,则f的值为()A. B0 C1 D1答案B解析f(x)sinxxcosxsinxxcosx,fcos0,故选B.3一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为st36t232t,则速度为0的时刻是()A4 s末 B8 s末C0 s末与8 s末 D4 s末与8 s末答案D解析
2、st212t32,由导数的物理意义可知,速度为零的时刻就是s0的时刻,解方程t212t320,得t4或t8.故选D.4过曲线yx3x2上的点P0的切线平行于直线y4x1,则切点P0的坐标为()A(0,1)或(1,0) B(1,0)或(1,4)C(1,4)或(0,2) D(1,0)或(2,8)答案B解析设P0(x0,y0),由y3x21,得y|xx03x1,由题意得3x14,x1,即x01.当x01时,y00,当x01时,y04.故P0的坐标为(1,0)或(1,4),故选B.5f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f(x)g(x),则f(x)与g(x)满足()Af
3、(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数答案C解析由f(x)g(x),得f(x)g(x)0,即0.所以f(x)g(x)C(C为常数)6. 函数yf(x)的图象如图所示,f(x)为f(x)的导函数,则f(1),f(2),f(2)f(1)的大小关系是()Af(1)f(2)f(2)f(1)Bf(2)f(2)f(1)f(1)Cf(2)f(1)f(2)f(1)Df(1)f(2)f(1)f(2)答案D解析由题意得(1,f(1),(2,f(2)两点连线的斜率为f(2)f(1),而f(1),f(2)分别表示函数f(x)在点(1,f(1),(2,f(2)处的
4、切线的斜率,由图象可知f(1)f(2),即f(1)f(2)f(1)0,故B不满足;yf(x)ex的导函数为f(x)ex,f(x1)f(x2)ex1x20,故C不满足;yf(x)x3的导函数为f(x)3x2,f(x1)f(x2)9xx0,故D不满足故选A.10如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x答案A解析设三次函数的解析式为yax3bx2cxd(a0),则y3ax22bxc.由已知得yx是函数yax3bx2cxd在点(0,0)处的切线,则y|x0
5、1c1,排除选项B、D.又y3x6是该函数在点(2,0)处的切线,则y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有A选项的函数符合,故选A.11已知函数f(x)(2x1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为_答案3解析f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex,f(0)3.12已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ex1x,则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_答案y2x解析当x0时,x0),点(1,2)在曲线yf(x)上,易知f(1)2,故曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是y2f(1)(x1),即y2x.13已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲
6、线yax2(a2)x1相切,则a_.答案8解析令f(x)xln x,求导得f(x)1,f(1)2,又f(1)1,所以曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1),即y2x1.设直线y2x1与曲线yax2(a2)x1的切点为P(x0,y0),则y|xx02ax0a22,得a(2x01)0,a0或x0,又ax(a2)x012x01,即axax020,当a0时,显然不满足此方程,x0,此时a8.三、模拟小题14如果f(x)是二次函数,且f(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线yf(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析由题意可设f(x)a
7、(x1)2(a0),即函数切线的斜率为kf(x)a(x1)2,即tan,0,由g(x),得3,得x01,得切点P(1,3),所以33m,解得m6,所以切点到直线f(x)3x的距离为,所以(ab)2(dc)2的最小值为.一、高考大题1已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时,求曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程;(2)若当x(1,)时,f(x)0,求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0,)当a4时,f(x)(x1)ln x4(x1),f(x)ln x3,f(1)2,f(1)0.曲线yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1,)时,f(x)0等
8、价于ln x0.设g(x)ln x,则g(x),g(1)0.当a2,x(1,)时,x22(1a)x1x22x10,故g(x)0,g(x)在(1,)上单调递增,因此g(x)0;当a2时,令g(x)0,得x1a1,x2a1.由x21和x1x21,得x11,故当x(1,x2)时,g(x)0,g(x)在(1,x2)上单调递减,因此g(x)g(1)0.综上,a的取值范围是(,22设函数f(x)aln xx2bx(a1),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为0.(1)求b;(2)若存在x01,使得f(x0)0,f(x)在(1,)上单调递增所以,存在x01,使得f(x0)的充要条件为f(1),即1
9、,解得1a1.若a1,故当x时,f(x)0.f(x)在上单调递减,在上单调递增所以,存在x01,使得f(x0)的充要条件为f,所以不合题意若a1,则f(1)1.综上,a的取值范围是(1,1)(1,)3设函数f(x)(xa)ln x,g(x).已知曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)g(x)在(k,k1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)minf(x),g(x)(minp,q表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值解(1)由题意知,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜
10、率为2,所以f(1)2,又f(x)ln x1,所以a1.(2)k1时,方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x,当x(0,1时,h(x)110,所以存在x0(1,2),使得h(x0)0.因为h(x)ln x1,所以当x(1,2)时,h(x)10,当x时,若x(0,1,m(x)0;若x(1,x0,由m(x)ln x10,可知00,m(x)单调递增;x(2,)时,m(x)0,m(x)单调递减可知m(x)m(2),且m(x0)0.解(1)f(x)ln x,f(1)1a1,解得a2.又点(1,f(1)在切线xy20上,f(1)b,1b20,解得b1.yf
11、(x)的解析式为f(x)(x2)ln x1.(2)证明:由(1)知f(x)ln xln x1,又f(x)在(0,)上单调递增,且f(1)10,存在x0(1,2)使得f(x0)0.当0xx0时,f(x)x0时,f(x)0,f(x)f(x0)(x02)ln x01.由f(x0)0,得ln x01.f(x)f(x0)(x02)ln x01(x02)15.令r(x)x(1x2),则r(x)10,r(x)在区间(1,2)内单调递减,r(x)550.综上,对任意x(0,),f(x)0.6已知直线yx1与函数f(x)aexb的图象相切,且f(1)e.(1)求实数a,b的值;(2)若存在x,使得2mf(x1)nf(x)mx(m0)成立,求的取值范围解(1)设直线yx1与曲线f(x)aexb相切的切点为(x0,f(x0)由f(x)aexb,得f(x)aex. (2)由(1)可知f(x)ex,则存在x,使得2mf(x1)nf(x)mx成立,等价于存在x,使得2mex1nexmx成立所以,x.设g(x),x,则g(x).当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x时,g(x)0,g(x)单调递减所以g(x)maxg(1).