1、考点测试14变化率与导数、导数的计算一、基础小题1下列求导运算正确的是()A.1 B(log2x)C(3x)3xlog3e D(x2cosx)2xsinx答案B解析1；(3x)3xln 3；(x2cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx，所以A、C、D错故选B.2已知函数f(x)xsinxcosx，则f的值为()A. B0 C1 D1答案B解析f(x)sinxxcosxsinxxcosx，fcos0，故选B.3一质点做直线运动，由始点经过t s后的距离为st36t232t，则速度为0的时刻是()A4 s末 B8 s末C0 s末与8 s末 D4 s末与8 s末答案D解析
2、st212t32，由导数的物理意义可知，速度为零的时刻就是s0的时刻，解方程t212t320，得t4或t8.故选D.4过曲线yx3x2上的点P0的切线平行于直线y4x1，则切点P0的坐标为()A(0，1)或(1,0) B(1,0)或(1，4)C(1，4)或(0，2) D(1,0)或(2,8)答案B解析设P0(x0，y0)，由y3x21，得y|xx03x1，由题意得3x14，x1，即x01.当x01时，y00，当x01时，y04.故P0的坐标为(1,0)或(1，4)，故选B.5f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f(x)g(x)，则f(x)与g(x)满足()Af
3、(x)g(x) Bf(x)g(x)0Cf(x)g(x)为常数函数 Df(x)g(x)为常数函数答案C解析由f(x)g(x)，得f(x)g(x)0，即0.所以f(x)g(x)C(C为常数)6. 函数yf(x)的图象如图所示，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)，f(2)，f(2)f(1)的大小关系是()Af(1)f(2)f(2)f(1)Bf(2)f(2)f(1)f(1)Cf(2)f(1)f(2)f(1)Df(1)f(2)f(1)f(2)答案D解析由题意得(1，f(1)，(2，f(2)两点连线的斜率为f(2)f(1)，而f(1)，f(2)分别表示函数f(x)在点(1，f(1)，(2，f(2)处的
4、切线的斜率，由图象可知f(1)f(2)，即f(1)f(2)f(1)0，故B不满足；yf(x)ex的导函数为f(x)ex，f(x1)f(x2)ex1x20，故C不满足；yf(x)x3的导函数为f(x)3x2，f(x1)f(x2)9xx0，故D不满足故选A.10如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x答案A解析设三次函数的解析式为yax3bx2cxd(a0)，则y3ax22bxc.由已知得yx是函数yax3bx2cxd在点(0,0)处的切线，则y|x0
5、1c1，排除选项B、D.又y3x6是该函数在点(2,0)处的切线，则y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有A选项的函数符合，故选A.11已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_答案3解析f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，f(0)3.12已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_答案y2x解析当x0时，x0)，点(1,2)在曲线yf(x)上，易知f(1)2，故曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是y2f(1)(x1)，即y2x.13已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲
6、线yax2(a2)x1相切，则a_.答案8解析令f(x)xln x，求导得f(x)1，f(1)2，又f(1)1，所以曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.设直线y2x1与曲线yax2(a2)x1的切点为P(x0，y0)，则y|xx02ax0a22，得a(2x01)0，a0或x0，又ax(a2)x012x01，即axax020，当a0时，显然不满足此方程，x0，此时a8.三、模拟小题14如果f(x)是二次函数，且f(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线yf(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案B解析由题意可设f(x)a
7、(x1)2(a0)，即函数切线的斜率为kf(x)a(x1)2，即tan，0，由g(x)，得3，得x01，得切点P(1，3)，所以33m，解得m6，所以切点到直线f(x)3x的距离为，所以(ab)2(dc)2的最小值为.一、高考大题1已知函数f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)当a4时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(x)ln x3，f(1)2，f(1)0.曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当x(1，)时，f(x)0等
8、价于ln x0.设g(x)ln x，则g(x)，g(1)0.当a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g(x)0，得x1a1，x2a1.由x21和x1x21，得x11，故当x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)g(1)0.综上，a的取值范围是(，22设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0，f(x)在(1，)上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1
9、，解得1a1.若a1，故当x时，f(x)0.f(x)在上单调递减，在上单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f，所以不合题意若a1，则f(1)1.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)3设函数f(x)(xa)ln x，g(x).已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜
10、率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的根设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0,1时，h(x)110，所以存在x0(1,2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1,2)时，h(x)10，当x时，若x(0,1，m(x)0；若x(1，x0，由m(x)ln x10，可知00，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)，且m(x0)0.解(1)f(x)ln x，f(1)1a1，解得a2.又点(1，f(1)在切线xy20上，f(1)b，1b20，解得b1.yf
11、(x)的解析式为f(x)(x2)ln x1.(2)证明：由(1)知f(x)ln xln x1，又f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)10，存在x0(1,2)使得f(x0)0.当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)f(x0)(x02)ln x01.由f(x0)0，得ln x01.f(x)f(x0)(x02)ln x01(x02)15.令r(x)x(1x2)，则r(x)10，r(x)在区间(1,2)内单调递减，r(x)550.综上，对任意x(0，)，f(x)0.6已知直线yx1与函数f(x)aexb的图象相切，且f(1)e.(1)求实数a，b的值；(2)若存在x，使得2mf(x1)nf(x)mx(m0)成立，求的取值范围解(1)设直线yx1与曲线f(x)aexb相切的切点为(x0，f(x0)由f(x)aexb，得f(x)aex. (2)由(1)可知f(x)ex，则存在x，使得2mf(x1)nf(x)mx成立，等价于存在x，使得2mex1nexmx成立所以，x.设g(x)，x，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减所以g(x)maxg(1).