1、专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“ ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案D解析“ab”不能得出“”，反之由“”也得不出“ab”故选D.2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，A1AAB2，BC1，AC， 若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为()A. B2 C4 D2答案A解析在ABC中，AC2AB2BC25，ABBC.作BDAC于D，则BD为侧视图的宽，且BD，侧视图的面积为S2.3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数
2、为()A3 B4 C5 D6答案C解析如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1，共5条4在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析ABAD1，BD，ABAD.ABAD.平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD，CDAB，AB平面ACD，ABAC，即BAC90.5. 如图，在三棱锥PABC 中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面
3、BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC答案B解析由APPB，APPC可推出AP平面PBC，APBC，故排除A；由平面BPC平面APC，BCPC可推出BC平面APC，APBC，故排除C；由AP平面PBC可推出APBC，故排除D，选B.6如图所示，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为()A2 B4C6 D8答案B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V234.7设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且
4、满足ABAC，ADAC，ABAD，则SABCSABDSACD的最大值是()A6 B7 C8 D9答案C解析由题意知42AB2AC2AD2，SABCSACDSABD(ABACACADADAB)(AB2AC2AD2)8.8已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是()A22R2 B.R2 C.R2 D.R2答案B解析如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相似三角形的比例关系，得，则PO13x，圆柱的高为3R3x，所以圆柱的表面积为S2x22x(3R3x)4x26Rx，则当xR时，S取最大值，SmaxR2.9在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1
5、B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有()A0个B1个C2个D3个答案C解析本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足条件，所以选C.10四棱锥MABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|MB|10，则三棱锥ABCM 的体积的最大值是()A16 B20 C24 D28答案C解析三棱锥ABCM体积三棱锥MABC的体积，又正方形ABCD的边长为6，SABC6618，又空间一动点M满足|MA|MB|10，M点的轨迹是椭球，当|MA|MB|时
6、，M点到AB距离最大，h4，三棱锥MABC的体积的最大值为VSABCh18424，三棱锥ABCM体积的最大值为24，故答案为C.11在一个棱长为4的正方体内，最多能放入的直径为1的球的个数()A64 B66 C68 D70答案B解析根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：1691691666(个)，故答案为B.12如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是棱AA，CC的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB、DD交于M
7、，N，设BMx，x，给出以下四个命题：平面MENF平面BDDB；当且仅当x时，四边形MENF的面积最小；四边形MENF周长Lf(x)，x是单调函数；四棱锥CMENF的体积Vh(x)为常函数以上命题中假命题的序号为()A B C D答案C解析连接BD，BD，则由正方体的性质可知EF平面BDDB，所以平面MENF平面BDDB，所以正确连接MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小，所以正确因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x时，EM的长度
8、由大变小，当x时，EM的长度由小变大，所以函数Lf(x)不单调，所以错误连接CE，CM，CN，则四棱锥分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是常数M，N到平面CEF的距离是常数，所以四棱锥CMENF的体积Vh(x)为常函数，所以正确所以四个命题中假命题，选C.二、填空题13如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于_答案解析连接AD1，AP，则AD1P就是所求的角设AB2，则APD1P，AD12，cosAD1P.14.如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC
9、，DAABBC，则球O的体积等于_答案解析如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|2R，所以R，故球O的体积V.15. 如图，有一圆柱开口容器(下表面封闭)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒的所经过的最短路程是_答案解析由于圆柱的侧面展开图为矩形(如图所示)，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程应为AQPQ，设点E与点A关于直线CD对称，因为两点之间线段最短，所以Q为PE与CD的交点时有最小值，即最小值为EP.16棱长为a的正方体ABCDA1
10、B1C1D1中，若与D1B平行的平面截正方体所得的截面面积为S，则S的取值范围是_答案解析如图，过D1B的平面为BMD1N，其中M，N分别是AA1，CC1的中点，由于BD1a，MNACa，ACBD1，即MND1B，所以过D1B与M，N的截面的面积为SACBDa2，因此S的取值范围是.三、解答题17在边长为4的菱形ABCD中，DCB60，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将CEF翻折到PEF的位置，使平面PEF平面ABD，得到如图所示的五棱锥PABFED.(1)求证：BDPA；(2)求点D到平面PBF的距离解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC
11、BD.因为EF为BCD的中位线，所以EFBD，故ACEF，即翻折后POEF.因为平面PEF平面ABD，平面PEF平面ABDEF，PO平面PEF，所以PO平面ABD.因为BD平面ABD，所以POBD.又AOBD，AOPOO，AO平面APO，PO平面APO，所以BD平面APO.因为AP平面APO，所以BDPA.(2)连接PC，因为四边形ABCD为菱形，且DCB60，故ADC120，AD4，AC4，BD4，SBDFSBDC422，OPAC.因为PFBFFC，故BPC为直角三角形，BPC90，PC，PB，SPBFSBPCPBPC.因为VDPBFVPBDF，所以hDSPBFOPSBDF，所以hD.故点D
12、到平面PBF的距离为.18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若PAAD，且平面PAD平面ABCD，试证明：AF平面PCD；(3)在(2)的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM平面PCD？(直接给出结论，不需要说明理由)解(1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以ABCD.又因为AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB平面PCD.又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF平面PCDEF，所以ABEF.(2)证明：在正方形ABCD中，CDAD.又因为平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD
13、，所以CD平面PAD.又因为AF平面PAD，所以CDAF.由(1)知ABEF，又因为ABCD，所以CDEF.由点E是棱PC的中点，可知点F是棱PD的中点在PAD中，因为PAAD，所以AFPD，又因为PDCDD，所以AF平面PCD.(3)不存在19一个多面体的直观图和三视图如下：(其中M，N分别是AF，BC中点)(1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积解(1)证明：由三视图知该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且ABBCBF2，DECF2，CBF90.取BF中点G，连接MG，NG，由于M，N分别是AF，BC中点，则NGCF，MGAB，又ABEF，MGEF，面MNG面CDEF
14、，MN面CDEF.(2)作AHDE于H，由于三棱柱ADEBCF为直三棱柱，AH面DCEF，且AH，VACDEFSCDEFAH22.20. 如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABAD，AB3，CD2，PDAD5，E是PD上一点(1)若PB平面ACE，求的值；(2)若E是PD中点，过点E作平面平面PBC，平面与棱PA交于F，求三棱锥PCEF的体积解(1)连接BD交AC于O，在PBD中，过O作OEBP交PD于E，OE平面ACE，PB平面ACE，PB平面ACE，AB3，CD2，.(2)过E作EMPC交CD于M，过M作MNBC交AB于N，则平面EMN即为平面，则平面与平面PAB的交线与PB平行，即过N作NFPB交PA于F，E是PD的中点，CD2，CM1，则BNCM1，又AB3，2，则2，PDAD5，F到平面PCE的距离为，则VPCEFVFPCE.
